Интегральный логарифм

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

$\mathrm{li}\,(x)=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}.$

Для устранения сингулярности при $x=1$ иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

$\mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.$

Это две функции связаны соотношением:

$\mathrm{Li}\,(x)-\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots$

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

$\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x).$

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке $\mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots$ (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в ряд

Из тождества, связывающего $\mathrm{li}\,(x)$ и $\mathrm{Ei}(\ln x)$ следует ряд:

$\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},$

где $\gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

$\mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.$

Интегральный логарифм и распределение простых чисел

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой гораздо лучшее приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем $x/\ln{x}$:

$\pi(x)\sim\mathrm{Li}\,(x).$

Для не слишком больших $x$ $\pi(x)<\mathrm{Li}\,(x)$, однако доказано, что при некотором достаточно большом $x$ неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза и в настоящее время для этого числа найдена оценка сверху $e^{e^{27/4}}$.

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.