Аффинная длина

Аффи́нная длина́ — параметр плоской кривой, который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях, сохраняющих площадь).

Определение

Для плоской кривой $\gamma:[a,b]\to \mathbb R^2$ он вычисляется по формуле

$l=\int\limits_a^b|\dot\gamma(t)\times\ddot\gamma(t)|^{1/3} dt,$

где $\times$ обозначает векторное произведение, а $\dot\gamma(t)$ и $\ddot\gamma(t)$ — первую и вторую производную.

Частные случаи

• Аффинная длина графика $y=f(x)$ функции $f$ задаётся как

  $l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|f''(x)|} dx,$

• Для кривой $\gamma(s)$ с натуральным параметром и кривизной $\varkappa(s)$

  $l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|\varkappa(s)|} ds.$

Свойства

• Аффинная длина дуги параболы равна $2\sqrt[3]S,$ где S есть площадь треугольника, образованного хордой дуги и касательными к параболе в концах дуги.
• Среди выпуклых замкнутых кривых с фиксированной аффинной длиной эллипсы (и только они) ограничивают наименьшую площадь.

Вариации и обобщения

Существуют также обобщения аффинной длины на случай пространственных кривых и для общей аффинной группы, а также других её подгрупп.

Литература

• Л. Фейеш Тот, Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, М., Физматлит, 1958. — 364 с.