- Алгебраически замкнутое поле
-
Для термина «Замыкание» см. другие значения.
Алгебраически замкнутое поле — поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.
Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.
Свойства
- В алгебраически замкнутом поле каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов имеет степень 1. См. также теорема Безу.
- Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.
- Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
- Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
- Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.
См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Теория колец
- Теория полей
Wikimedia Foundation. 2010.