Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Неравенство Коши (неравенство о средних) Для любых неотрицательных чисел $x_1,x_2,\dots,x_n$ верно неравенство:

$\bar{x}_\mathrm{kvadr} \ge \bar{x}_\mathrm{arithm} \ge \bar{x}_\mathrm{geom} \ge \bar{x}_\mathrm{garmon},$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $x_1=x_2=\dots=x_n$.

Выражение

$\bar{x}_\mathrm{arithm} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

называется средним арифметическим, а

$\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$

средним геометрическим чисел $x_1,x_2,\dots,x_n$.

Выражение

$\bar{x}_\mathrm{garmon} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}$

называется средним гармоническим чисел $x_1,x_2,\dots,x_n$.

Связанные результаты

• Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим является частным случаем неравенства о средних.
• Неравенство Коши в обобщённом виде легло в основу геометрического программирования.

История

Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу в 1821 году.

Ссылки

• Соловьев Ю. Огюстен Луи Коши и математическая индукция // Квант. — 1991. — № 3. — С. 13-14.