Функция Струве

Функция Струве — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

$z^2\frac{d^2f}{dz^2}+z\frac{df}{dz}+(z^2-\nu^2)f=\frac{4\left(z/2\right)^{\nu+1}}{\sqrt{\pi}\cdot\Gamma\left(\nu+\frac1{2}\right)}$

Интегральное выражение функции Струве:

$\mathsf{H}_\nu(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{(z/2)^\nu}{\Gamma\left(\nu+\frac1{2}\right)}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(z\cdot\cos t)\cdot \sin^{2\nu}t dt$

Разложение в ряд:

$\mathsf{H}_\nu(z)=\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu+1}\sum^\infty_{k=0}\frac{(-1)^k (z/2)^{2k}}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}\right)\cdot\Gamma\left(k+\nu+\frac{3}{2}\right)}$

Модифицированная функция Струве:

$\mathsf{L}_\nu(z)=-i\cdot e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}\cdot \mathsf{H}_\nu(i z)$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Struve Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.