Функция неопределенности

Функция неопределенности

Функция неопределенности (ФН) — двумерная функция {\chi \left( \tau ,f \right)}, представляющая собой зависимость величины отклика согласованного фильтра на сигнал, сдвинутый по времени на {\tau} и по частоте на {\Delta f} относительно сигнала {s \left(t \right)}, согласованного с этим фильтром. Иными словами, она характеризует степень различия откликов фильтра на сигналы с различной временной задержкой (дальность) и частотой (радиальная скорость). Используется для анализа разрешающей способности сигналов по дальности и радиальной скорости в радиолокации.

Функция неопределенности представляет собой корреляционный интеграл

\chi(\tau,\Delta f)=\int_{-\infty}^\infty  s(t)s^*(t-\tau) e^{i 2 \pi \Delta f t} \, dt, (1)

где * — операция комплексного сопряжения; {i} — мнимая единица.

Содержание

Вывод выражения

Основной операцией при согласованной фильтрации является вычисление взаимнокорреляционного интеграла между принимаемым f\left( t \right) и ожидаемым (оптимальным для фильтра) s\left( t \right) сигналом

y\left(t  \right)=\int\limits_{-\infty }^\infty{f\left(\tau\right)s^*\left(\tau-t\right)d\tau}.

Положим, что принимаемый сигнал имеет некоторый доплеровский сдвиг \Delta f обусловленный скоростью цели и задаётся выражением f\left(t\right)=s\left(t \right)e^{i 2 \pi \Delta f t}. Тогда отклик согласованного фильтра определяется как

y\left(t  \right)=\int\limits_{-\infty }^\infty{s\left(\tau\right)e^{i 2 \pi \Delta f \tau}s^*\left(\tau-t\right)d\tau}.

Осуществив замену переменных t=\tau и \tau=t окончательно можно записать

\chi(\tau,\Delta f)=\int_{-\infty}^\infty  s(t)s^*(t-\tau) e^{i 2 \pi \Delta f t} \, dt.

Следует отметить, что существуют и другие формы записи выражения для функции неопределенности, представляющие собой абсолютное значение выражения (1), либо его квадрат.

Свойства функции неопределенности

  • Максимальное значение ФН находится в точке начала координат \left( \tau=0, \Delta f=0 \right) и количественно равно E
\left| \chi \left( \tau ,\Delta f \right) \right|\le \left| \chi \left( 0,0 \right) \right|=E,

где E=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| s\left( t \right) \right|}^{2}}dt} — энергия сигнала.

  • По модулю ФН симметрична относительно начала координат
\left| \chi \left( \tau ,\Delta f \right) \right|=\left| \chi \left( -\tau ,- \Delta f \right) \right|.
  • Объем квадрата модуля ФН является постоянным и равен {{E}^{2}}.
\int\limits_{-\infty }^{\infty }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| \chi \left( \tau ,\Delta f \right) \right|}^{2}}d\tau df=}{{E}^{2}}.
\chi(\tau,\Delta f)=\int_{-\infty}^\infty  S^*(f)S(f-\Delta f) e^{-i 2 \pi \Delta f \tau} \, df.

Функции неопределенности некоторых сигналов

Идеальная ФН

Идеальная ФН представляет собой дельта функцию

\chi(\tau,\Delta f) = \delta(\tau) \delta(\Delta f) \, ,

имеющую бесконечное значение в точке (0,0) и нулевое во всех остальных случаях. Идеальная ФН обеспечивает наилучшую разрешающую способность двух бесконечно близко расположенных целей. Является математической идеализацией. Примером сигнала с идеальной ФН может быть сигнал с бесконечной шириной спектра.

Прямоугольный импульс

Модуль ФН прямоугольного импульса

Модуль ФН нормированного прямоугольного импульса длительностью T, заданного как

s(t) = \frac{1}{\sqrt{T}}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T}\right),

где \mathrm{rect()}прямоугольная функция, на основании выражения (1) имеет вид

\left| \chi(\tau,\Delta f)  \right| = \left| \left( 1- \frac{\left| \tau  \right|}{T} \right)\frac{\sin\left(\pi T \Delta f\left(1-\left| \tau \right|/T\right)\right)}{\pi T \Delta f \left(1-\left| \tau \right|/T\right)}  \right|.

Сечение ФН по оси времени при \Delta f =0 определяется выражением

\left| \chi(\tau,0)  \right| = \begin{cases}
1- \frac{\left| \tau  \right|}{T}, & |\tau| \le T \\
0, & \mbox{otherwise}. \\
\end{cases}

Сечение ФН по оси частот при \tau =0 определяется выражением

\left| \chi(0,\Delta f)  \right| = \left| \frac{\sin(\pi T \Delta f)}{\pi T \Delta f}  \right|.

ЛЧМ импульс

Модуль ФН ЛЧМ импульса

Пусть ЛЧМ импульс задан выражением

s(t) = \frac{1}{\sqrt{T}}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T}\right)e^{i \pi \mu t^2},

где \mu=\pm {B}/{T} — крутизна ЛЧМ; B — девиация частоты. Тогда модуль ФН определяется как

\left| \chi(\tau,\Delta f)  \right| = \left| \left( 1- \frac{\left| \tau  \right|}{T} \right)\frac{\sin\left(\pi T (\Delta f \pm B({\tau}/{T})) \left(1-\left| \tau \right|/T\right)\right)}{\pi T (\Delta f \pm B({\tau}/{T})) \left(1-\left| \tau \right|/T\right)}  \right|,

при \left| \tau  \right| \le T.

Литература

  1. Дудник, П. И. Авиационные радиолокационные комплексы и системы: учебник для слушателей и курсантов ВУЗов ВВС / П. И. Дудник, Г. С. Кондратенков, Б. Г. Татарский, А. Р. Ильчук, А. А. Герасимов. Под ред. П. И. Дудника. — М.: Изд. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 2006. — 1112 с. — ISBN 5-903111-15-7
  2. Лёзин, Ю. С. Введение в теорию и технику радиотехнических систем: Учеб. пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1986. — 280 с.
  3. Mahafza, B. R. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB / Bassem R. Mahafza. — CHAPMAN&HALL/CRC, 2000. — 532 с. — ISBN 1-58488-182-8



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Функция неопределенности" в других словарях:

  • функция предотвращения неопределенности поведения автоматического выключателя — [Интент] Параллельные тексты EN RU Enabling or disabling the anti pumping function The purpose of the mechanical anti pumping function is to ensure that a circuit breaker receiving simultaneous opening and closing orders does not open and close… …   Справочник технического переводчика

  • функция надежности ключа — Мера неопределенности ключа для криптоаналитика, анализирующего первые такие криптограммы. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN equivocation function …   Справочник технического переводчика

  • МЕРОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ — одного комплексного переменного в области (или на римановой поверхности W) голоморфная функция в области к рая в каждой особой точке имеет полюс (т. е. изолированная точка множества не имеющего предельных точек в W, и ). Совокупность M(W) всех М …   Математическая энциклопедия

  • ГОСТ 31371.1-2008: Газ природный. Определение состава методом газовой хроматографии с оценкой неопределенности. Часть 1. Руководство по проведению анализа — Терминология ГОСТ 31371.1 2008: Газ природный. Определение состава методом газовой хроматографии с оценкой неопределенности. Часть 1. Руководство по проведению анализа оригинал документа: 3.8 аттестованные эталонные газовые смеси (ЭС)… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Принцип неопределенности — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Принцип неопределенности Гейзенберга — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • ФН — «Филологические науки» журнал издание Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. С. Пб.: Политехника, 1997. 527 с. ФН «фундаментальные науки» факультет МГТУ им. Н.Э. Баумана http://fn.bmstu.ru/​ образован …   Словарь сокращений и аббревиатур

  • Распределение Максвелла — Функция плотности распределения Распределение Максвелла распределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и… …   Википедия

  • ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЕ — решение задачи оптимального управления математической теории, состоящей в синтезе оптимального управления в виде стратегии управления по принципу обратной связи, как функции текущего состояния (позиции) процесса (см. [1] [3]). Последнее… …   Математическая энциклопедия

  • Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»