Функция Ломмеля

Функция Ломмеля — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

$z^2\frac{d^2f}{dz^2}+z\frac{df}{dz}+(z^2-\nu^2)f=z^{\mu+1}$

Введена немецким математиком Эйгеном фон Ломмелем.^[1][2]

Интегральное выражение функции Ломмеля:

$\mathsf{G}_{\nu,\mu}(x)=\frac{\pi}{2}\left(N_\nu(x)\cdot\int_0^xJ_\nu(t)\cdot t^{\mu-1} dt-J_\nu(x)\cdot\int_0^x N_\nu(t)\cdot t^{\mu-1} dt\right)$

где $J_\nu(x)$ — функция Бесселя; $N_\nu(x)$ — функция Неймана.

Разложение функции Ломмеля в ряд:

$\mathsf{G}_{\nu,\mu}(x)=\frac{x^\mu}{4}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}}{\left(\frac{\mu+\nu}{2}\right)_{k+1}\cdot\left(\frac{\mu-\nu}{2}\right)_{k+1}}$

где $\left(a\right)_k$ — символ Похгаммера.

Примечания

1. ↑ Lommel, E. Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function (нем.) // Mathematische Annalen. — 1875. — Т. 9. — № 3. — С. 425–444.
2. ↑ Lommel, E. Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV (нем.) // Mathematische Annalen. — 1880. — Т. 16. — № 2. — С. 183–208.

Литература

• «Ломмеля функция» — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Lommel Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.