Символ Похгаммера

Символ Похгаммера — обозначение, принятое для обозначения функции, задаваемой произведением:

$(x)_n=\prod^{n}_{k=1}(x+k-1)$,

где $n\geqslant0$ — целое число. Название дано по имени немецкого математика Лео Похгаммера.

Символы Похгаммера удовлетворяют соотношению:

$(-x)_n=(-1)^n\cdot(x-n+1)_n$.

В частном случае, при $x=1$ символ Похгаммера даёт факториал:

$(1)_n=n!$.

Символ Похгаммера можно выразить через гамма-функцию:

$(x)_n=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$.

Производная символа Похгаммера:

$\frac{d}{dx}(x)_n=(x)_n\cdot\left(\psi_0(n+x)-\psi_0(x)\right)$,

где $\psi_0(x)$ — дигамма-функция.

Символ Похгаммера связан с числами Стирлинга первого рода $s(n,k)$:

$(x)_{n} = \sum_{k=0}^n\cdot(-1)^{n-k} s(n,k)\cdot x^k,$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pochhammer Symbol (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.