Счастливое число

В теории чисел счастливое число является натуральным числом множества генерируемое «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа.

Начнем со списка целых чисел, начиная с 1:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25,

Каждое второе число (все четные числа) исключается, остается только нечетные числа :

1,    3,    5,    7,    9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25,   

Второй член в этой последовательности 3. Каждое третье число, которое остается в списке исключается:

1,    3,          7,    9,         13,   15,         19,   21,         25,

Теперь третье оставшееся число это 7, поэтому каждый седьмой номер, который остался исключается:

1,    3,          7,    9,         13,   15,               21,         25,

Процедура постоянно повторяется, оставшиеся числа и будут счастливыми числами:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, … (последовательность A000959 в OEIS).

Анимация выявления счастливых чисел. Числа в красном квадрате являют собой счастливые числа.

В 1955 году термин был предложен в работе Гардинера, Лазаруса, Метрополиса и Улама. Также они предложили назвать это решето решетом Иосифа Флавия^[1] из-за его схожести со считалкой в задаче Иосифа Флавия .

Счастливые числа делятся с простыми числами некоторыми своими свойствами, такими как асимптотическое поведение в соответствии с теоремой о распределении простых чисел; также версия проблемы Гольдбаха была распространена на них. Существует бесконечно множество счастливых чисел. Из-за этих очевидных связей с простыми числами, некоторые математики предположили, что эти свойства могут быть найдены в более широком классе множеств этих чисел, сгенерированных решетом неизвестного вида, хотя теоретические основания для этой гипотезы малы. Счастливые числа-близнецы и простые числа-близнецы также, по всей видимости, появляются с одинаковой частотой.

Счастливое простое число — это то счастливое число, которое также является простым. Неизвестно, существует ли бесконечное множество счастливых простых чисел. Некоторые первые числа данной последовательности это:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193 (последовательность A031157 в OEIS).

Примечания

1. ↑ V. Gardiner, R. Lazarus, N. Metropolis and S. Ulam, «On certain sequences of integers defined by sieves», Mathematics Magazine 29:3 (1955), pp. 117—122.

Ссылки

• Peterson, Ivars. MathTrek: Martin Gardner’s Lucky Number
• Weisstein, Eric W. Lucky Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Lucky Numbers by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.