- Процесс Пуассона
-
См. также: Пальма поток
Пуассо́на пото́к (проце́сс), (устар. Пуассоновский процесс[1]) — поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и имеет экспоненциальное распределение[уточнить] с параметром Λ(А). В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.
Содержание
Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то
Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.[2]
Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.
Классификация
Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).
Простой процесс Пуассона
Пусть
. Случайный процесс
называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью
, если
почти наверное.
— процесс с независимыми приращениями.
для любых
, где
обозначает распределение Пуассона с параметром
.
Сложный (обобщённый) Пуассоновский процесс
- Пусть
последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
- Пусть
- простой пуассоновский процесс с интенсивностью
, не зависящий от последовательности
.
Обозначим через
cумму первых k элементов введённой последовательности.
Тогда определим сложный Пуассоновский процесс
как
.
Свойства
- Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того
.
- Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно
при
,
где
обозначает «о малое».
Критерий
Для того чтобы некоторый случайный процесс
с непрерывным временем был Пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:
.
- Процесс имеет независимые приращения.
- Процесс однородный.
- Процесс принимает целые неотрицательные значения.
при
.
Информационные свойства
- Пусть
— моменты скачков процесса Пуассона.
.
Зависит ли
от предыдущей части траектории?
— ?
Пусть
.
.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.- Рассмотрим отрезок
на временно́й оси.
— число скачков на отрезке
.
Условное распределение моментов скачковсовпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины
из
.
Плотность этого распределения
ЦПТ
- Теорема.
Скорость сходимости:
,
где— константа Берри-Эссеена.
Применение
Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.
Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.
Литература
- Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
- ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
- Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
Примечания
- ↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 4. — 1104 с. — 148 800 экз.
- ↑ Словарь по кибернетике / Под редакцией академика В. С. Михалевича. — 2-е. — Киев: Главная редакция Украинской Советской Энциклопедии имени М. П. Бажана, 1989. — С. 534. — 751 с. — (С48). — 50 000 экз. — ISBN 5-88500-008-5
См. также
Категории:- Статьи с упоминанием устаревших значений
- Случайные процессы
- Марковские процессы
Wikimedia Foundation. 2010.