Непрерывное отношение предпочтения

Непрерывность отношения предпочтения означает, что если потребитель предпочитает набору $y\,\!$ набор $x\,\!$, то он также предпочтет наборам, близким к $y\,\!$, наборы, близкие к $x\,\!$.

Отношение предпочтения $\succeq$ называется непрерывным, если для произвольного набора $y\in X\,\!$ множества $\big\{x\in X: x\succeq y\big\}\,\!$ и $\big\{z\in X: y\succeq z\big\}\,\!$ являются замкнутыми. Первое множество содержит все наборы, которые слабо преобладают над $y\,\!$ (то есть не хуже $y\,\!$), во втором множестве все наборы такие, что $y\,\!$ слабо преобладает над ними (т.е. они не лучше $y\,\!$).

Эквивалентное определение можно дать, используя отношение сильного преимущества $\succ$ - множество $\big\{x\in X: x\succ y\big\}\,\!$ наборов, лучших $y\,\!$, и множество $\big\{z\in X: y\succ z\big\}\,\!$ наборов, худших $y\,\!$, должны быть открытыми.

Последнее определение имеет важное следствие. Поскольку открытые множества не содержат своих предельных точек, то помимо множества лучших и множества худших, чем $y\,\!$ наборов, должно быть еще множество наборов, которые являются безразличными по отношению $y\,\!$ и разделяют первые два множества.

Итак, из непрерывности следует, что перемещаясь от набора, худшего произвольно выбранного набора $y\,\!$ до лучшего $y\,\!$, по дороге всегда наткнемся на набор, безразличный по отношению к $y\,\!$.

Если отношение предпочтения является и монотонным, и непрерывным, то классы безразличия будут гиперповерхностями. В случае двух товаров (т.е. $X= R_+^2$) классы безразличия называют кривыми безразличия.

Классическим примером отношения предпочтения, не являющегося непрерывным, служит лексикографическое отношение предпочтения.

См. также

• Отношение предпочтения
• Монотонное отношение предпочтения
• Выпуклое отношение предпочтения

Литература

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry Microeconomic Theory., Oxford: Oxford University Press, 1995. ISBN 0-19-507340-1 .
• Varian, Hal R. Intermediate Microeconomics, WW Norton & Company, 2005.