Интервалы между простыми числами

Интервалы между простыми чиcлами — это разности между двумя последовательными простыми числами. n-ый интервал, обозначаемый $g_n~$, — это разность между n+1-м и n-ым простыми числами, то есть

$g_n = p_{n + 1} - p_n.~$

Мы имеем: $g_1=1, g_2=g_3=2, g_4=4~$. Последовательность $g_n~$ интервалов между простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию $g(p_n)~$ вместо $g_n~$

Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 последовательность A001223 в OEIS.

Простые замечания

Для любого простого числа P, символом P# мы будем обозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P. Если Q — это простое число, следующее за P, то последовательность

$P\#+2, P\#+3,...,P\#+(Q-1)$

является последовательностью из $Q-2$ последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем $Q-1$. Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, и для любого простого P существует n такое, что $g_n \geqslant P~$ (Очевидно, что для этого мы можем выбрать n таким, что $p_n~$ будет наибольшим простым числом, не превосходящим $P\#+2~$.). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большие интервалы между простыми должны существовать использует тот факт, что множество простых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределении простых чисел.

На самом деле, интервал между простыми величины P может встретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P#. Например, самая первая последовательность из 71 последовательных составных чисел находится между 31398 и 31468, в то время как 71# является 27-значным числом.

Уже среднее значение интервалов между простыми растет как натуральный логарифм n.

С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что $g_n=2~$ для бесконечно многих n.

Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощью функции Якобсталя последовательность A048670 в OEIS

Численные результаты

На 2009 г. наибольший известный интервал между числами, определенными как вероятно простые, имеет длину 2254930, с 86853-значными вероятно простыми был найден H. Rosenthal и J. K. Andersen.^[1] Наибольший известный интервал между простыми числами — это интервал длины 337446, с 7996-значными простыми найден T. Alm, J. K. Andersen и Francois Morain.^[2]

Будем говорить, что $g_n~$ является максимальным интервалом, если для всех $k<n~$ будет $g_k<g_n~$.

Первые 75 максимальных интервалов (n не приводится)

От 1 до 25 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 1129 10 34 1327 11 36 9551 12 44 15683 13 52 19609 14 72 31397 15 86 155921 16 96 360653 17 112 370261 18 114 492113 19 118 1349533 20 132 1357201 21 148 2010733 22 154 4652353 23 180 17051707 24 210 20831323 25 220 47326693

От 26 до 50 # gn pn 26 222 122164747 27 234 189695659 28 248 191912783 29 250 387096133 30 282 436273009 31 288 1294268491 32 292 1453168141 33 320 2300942549 34 336 3842610773 35 354 4302407359 36 382 10726904659 37 384 20678048297 38 394 22367084959 39 456 25056082087 40 464 42652618343 41 468 127976334671 42 474 182226896239 43 486 241160624143 44 490 297501075799 45 500 303371455241 46 514 304599508537 47 516 416608695821 48 532 461690510011 49 534 614487453523 50 540 738832927927

От 51 до 75 # gn pn 51 582 1346294310749 52 588 1408695493609 53 602 1968188556461 54 652 2614941710599 55 674 7177162611713 56 716 13829048559701 57 766 19581334192423 58 778 42842283925351 59 804 90874329411493 60 806 171231342420521 61 906 218209405436543 62 916 1189459969825483 63 924 1686994940955803 64 1132 1693182318746371 65 1184 43841547845541059 66 1198 55350776431903243 67 1220 80873624627234849 68 1224 203986478517455989 69 1248 218034721194214273 70 1272 305405826521087869 71 1328 352521223451364323 72 1356 401429925999153707 73 1370 418032645936712127 74 1442 804212830686677669 75 1476 1425172824437699411

Дальнейшие результаты

Верхние оценки

Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, в частности, $p_{n+1}<2p_n~$, откуда $g_n<p_n~$.

Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок $\ln p~$. Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхную оценку для длины интервалов простых чисел: для любого $\varepsilon >0~$ существует такое N, что для всех $n>N~$ будет $g_n < \varepsilon p_n~$.

Hoheisel первым показал^[3] что существует такое постоянное $\theta <1$

$\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}$   при   $~x\ \to + \infty~$

отсюда следует, что

$g_n<p_n^\theta,$

для достаточно большого n.

Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное $\frac{g_n}{p_n}$ стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для $\theta$. Эта оценка была улучшена до 249/250 by Хейлборном,^[4] и до $\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$ для любого $\varepsilon >0$ by Чудаковым.^[5]

Основное улучшение было получено Ингамом,^[6], который показал, что если

$\zeta(1/2 + it)=O(t^c)\,$

для некоторой константы $c>0$, где O используется в смысле нотации O большое, то

$\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}$

для любого $\theta > \frac{1+4c}{2+4c}$. Здесь, как обычно, $\zeta$ обозначает дзета функцию Римана, а $\pi (x)$ — функция числа простых чисел не превосходящих x. Известно, что допускается $c > \frac{1}{6}$, откуда в качестве $\theta$ можно взять любое число, большее $\frac{5}{8}$. Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами $n^3$ и $(n+1)^3$ для достаточно больших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа, которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число между$n^2$ and $(n+1)^2$ для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера.

Хаксли показал, что можно выбрать $\theta = \frac{7}{12}$.^[7]

Последний результат принадлежит Baker, Harman and Pintz, показавшим, что $\theta$ может быть взято равным 0,525.^[8]

В 2005, Daniel Goldston, Janos Pintz и Cem Y?ld?r?m доказали, что

$\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0$

и позже улучшили это^[9] до

$\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\ln p_n}(\ln \ln p_n)^2}<\infty$

Нижние оценки

Роберт Ранкин доказал, что существует константа $c>0$ такая, что неравенство

$g_n > \frac{c\ln n\ln\ln n\ln\ln\ln\ln n}{(\ln\ln\ln n)^2}$

сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это $c=2e^{\gamma}~$, где $\gamma~$ — постоянная Эйлера-Маскерони.^[10] Пауль Эрдёш предлагает приз в $5,000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.^[11]

Гипотезы о интервалах между простыми числами

Primegap function

Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут быть получены при предположении истинности гипотезы Римана. Harald Cramer доказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы $g(p_n)~$ удовлетворяют соотношению

$g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n),$

(здесь используется нотация O большое). Позже он предположил, что интервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

$g(p_n) = O(\ln ^2 p_n). ~$

В данный момент на это указывают численные расчеты. Для более детальной информации см. Гипотеза Крамера.

Гипотеза Андрики утверждает, что

$g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.$

Это слабое усиление гипотезы Лежандра, которая утверждает, что между любой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простое число.

Интервалы между простыми как арифметическая функция

Интервал $g_n~$ между n-ым и $n+1$-ым простым числом является примером арифметической функции. В таком контексте обычно её обозначают $d_n~$ и называют разностью между простыми.^[11] Разность между простыми не является мультипликативной и не является аддитивной.

См. также

• Гипотеза Римана
• Гипотеза Крамера
• Открытые проблемы в теории чисел

Примечания

1. ↑ Largest known prime gap
2. ↑ A proven prime gap of 337446
3. ↑ Hoheisel, G. (1930). «Primzahlprobleme in der Analysis». Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 33: 3–11.
4. ↑ Heilbronn, H. A. (1933). «Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel». Mathematische Zeitschrift 36 (1): 394–423. DOI:10.1007/BF01188631.
5. ↑ Tchudakoff, N. G. (1936). «On the difference between two neighboring prime numbers». Math. Sb. 1: 799–814.
6. ↑ Ingham, A. E. (1937). «On the difference between consecutive primes». Quarterly Journal of Mathematics 8 (1): 255–266. DOI:10.1093/qmath/os-8.1.255.
7. ↑ Huxley, M. N. (1972). «On the Difference between Consecutive Primes». Inventiones Mathematicae 15 (2): 164–170. DOI:10.1007/BF01418933.
8. ↑ Baker, R. C. (2001). «The difference between consecutive primes, II». Proceedings of the London Mathematical Society 83 (3): 532–562. DOI:10.1112/plms/83.3.532.
9. ↑ arΧiv:0710.2728
10. ↑ Pintz, J. (1997). «Very large gaps between consecutive primes». J. Number Theory 63 (2): 286–301. DOI:10.1006/jnth.1997.2081.
11. ↑ ^{1 2} Guy R. K. Unsolved problems in number theory. — Third. — New York: Springer, 2004. — P. 31. — ISBN 0387208607

Ссылки

• Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers — Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
• Weisstein, Eric W. Prime Difference Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Шаблон:Planetmath reference
• Chris Caldwell, Gaps Between Primes