Единичный корень


Единичный корень

Единичный корень (англ. Unit root) — понятие, используемое в анализе временных рядов (эконометрика), характеризующее свойство некоторых нестационарных временных рядов. Название связано с тем, что т.н. характеристическое уравнение (или характеристический полином) авторегрессионной модели временного ряда имеет корни, равные по модулю единице. Наличие единичных корней в авторегрегрессионной модели временного ряда эквивалентно понятию интегрированности временного ряда.

Содержание

Содержание понятия

Пусть имеется авторегрессионная модель

y_{t}=\sum_{i=1}^p a_{i}y_{t-i}+\varepsilon_{t}

С помощью оператора лага L:~Lx_t=x_{t-1} эту модель можно записать следующим образом

y_{t}=(\sum_{i=1}^p a_{i}L^i)y_{t}+\varepsilon_{t}~\Rightarrow~(1-\sum_{i=1}^p a_{i}L^i)y_{t}=a(L)y_t=\varepsilon_{t}

Характеристическим полиномом данной модели называется полином a(z)=1-\sum_{i=1}^p a_{i}z^i.

Корни этого полинома (корни характеристического уравнения a(z)=0) в общем случае являются комплексными числами. Если все корни этого полинома лежат вне единичного круга комплексной плоскости (то есть по модулю строго больше единицы), то авторегрессионный процесс является стационарным. Если имеются корни, равные по модулю единице (теоретически могут быть и меньше единицы, но на практике такие "взрывные" процессы не рассматриваются), то авторегрессионный процесс является нестационарным. Если имеется k корней, равных по модулю единице (говорят о процессе с k единичными корнями), а остальные корни лежат вне единичного круга, то характеристический полином можно представить в следующем виде

a(z)=(1-\sum_{i=1}^{p-k} b_{i}z^i)(1-z)^k=b(z)(1-z)^k

следовательно соответствующий полином от оператора лага тоже можно представить аналогичным образом

a(L)y_t=b(L)(1-L)^ky_t=b(L)\vartriangle^ky_t=\varepsilon_t

Поскольку корни полинома b(z) по предположению лежат вне единичного круга, то полученная модель описывает стационарный авторегрессионный процесс в новых переменных \vartriangle^ky_t. Таким образом, мы получаем, что исходный временной ряд нестационарный, а ряд из разностей порядка k - стационарный. По определению это означает, что это интегрированный временной ряд порядка k - I(k).

Т.о. авторегрессионный процесс с k единичными корнями является интегрированным процессом порядка k.

Тесты на единичные корни

  • Тест Дики-Фуллера
  • Тест Филипса-Перрона
  • Тест Лейбурна
  • Тест Шмидта-Филлипса
  • Тест Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина (KPSS)
  • Тест DF-GLS
  • Тест Кохрейна (отношения дисперсий)

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Единичный корень" в других словарях:

  • ЕДИНИЧНЫЙ КОРЕНЬ — (unit root) Показатель, определяющий характер колебаний в системе. Система линейных разностных уравнений N го порядка имеет N корней. Если абсолютное значение любого из них больше 1, система приближается к взрыву , по крайней мере, до тех пор,… …   Экономический словарь

  • Быстрый инверсный квадратный корень — Вычисление освещения и отражения (показано на примере шутер от первого лица OpenArena) использует в коде быстрый инверсный квадратный корень для вычисления углов падения и отражения. Быстрый инверсный квадратный корень (иногда называемый Быстрый… …   Википедия

  • Быстрый обратный квадратный корень — Вычисление освещения и отражения (показано на примере шутера от первого лица OpenArena) использует в коде быстрый инверсный квадратный корень для вычисления углов падения и отражения …   Википедия

  • Абсолютно антисимметричный единичный тензор — Символ Леви Чивиты математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви Чивиты. Обозначается (нередко эпсилон пишется в ином начертании: ). Здесь приведён символ для трёхмерного… …   Википедия

  • Полностью антисимметричный единичный тензор — Символ Леви Чивиты математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви Чивиты. Обозначается (нередко эпсилон пишется в ином начертании: ). Здесь приведён символ для трёхмерного… …   Википедия

  • Тест Дики — Фуллера (DF тест, Dickey  Fuller test)  это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных рядов для проверки на стационарность. Является одним из тестов на единичные корни (Unit root test).… …   Википедия

  • Тест Дики-Фуллера — Тест Дики Фуллера  это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных рядов для проверки на стационарность. Был предложен в 1979 году Дэвидом Дики (англ.) и Уэйном Фуллером (англ.).[1]… …   Википедия

  • Векторная авторегрессия — (VAR, Vector AutoRegression) модель динамики нескольких временных рядов, в которой текущие значения этих рядов зависят от прошлых значений этих же временных рядов. Модель предложена Кристофером Симсом как альтернатива системам одновременных… …   Википедия

  • Интегрированный временной ряд — Интегрированный временной ряд  нестационарный временной ряд, разности некоторого порядка от которого, являются стационарным временным рядом. Такие ряды также называют разностно стационарными (DS рядами, Difference Stationary). Примером… …   Википедия

  • Коинтеграция — свойство нескольких нестационарных (интегрированных) временных рядов, заключающееся в существовании некоторой их стационарной линейной комбинации. Концепция коинтеграции впервые была предложена Грэнджером в 1981 году. В дальнейшем данное… …   Википедия

Книги