Тест Дики-Фуллера

Тест Дики-Фуллера — это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных рядов для проверки на стационарность. Был предложен в 1979 году Дэвидом Дики (англ.) и Уэйном Фуллером (англ.).^[1]

За вклад в исследование коинтегрированных и гетероскедастичных процессов с использованием предложенного теста Дики-Фуллера проверки на стационарность, в 2003 году Роберт Ингл (Robert Fry Engle) получил Нобелевскую премию по экономике.^[2]

Название теста

В англоязычной литературе встречается под названиями Dickey-Fuller test и unit root test. Unit root в дословном переводе с английского языка означает единичный корень.

Понятие единичного корня

Временной ряд имеет единичный корень, или порядок интеграции один, если его первые разности образуют стационарный ряд. Это условие записывается как ${y(k) \thicksim I(1)}$ если ряд первых разностей $\mathcal {4}y(k)=y(k)-y(k-1)$ является стационарным ${\mathcal {4}y(k) \thicksim I(0)}$

При помощи этого теста определяют значение коэффициента p в авторегрегрессионном уравнении первого порядка АР(1)

$y(k)=p\cdot y(k-1)+\varepsilon(k)\,$

где y(k) — временной ряд, а ε — ошибка.

Если p = 1, то процесс имеет единичный корень, в этом случае ряд y(k) не стационарен, а степень интегрированности процесса равна 1. Степень интегрированности обозначается как I(1).

Если 0 < p < 1, то ряд стационарный и имеет степень интегрированости I(0)

Для финансово-экономических процессов значение p > 1 не свойственно, так как в этом случае процесс является "взрывным". Возникновение таких процессов маловероятно, так как финансово-экономическая среда достаточно инерционная, что не позволяет принимать бесконечно большие значения за малые промежутки времени.

Проверка на стационарность

Приведенное авторегрессионное уравнение AR(1) можно переписать в виде:^[3]

${ \mathcal {4} y(k)=b \cdot y(k-1)+ \varepsilon(k)}$

где b = p − 1, а ${\mathcal {4}}$ — оператор разности первого порядка ${\mathcal {4} y(k)=y(k)-y(k-1)}$

Существует три версии теста:

1. На наличие единичного корня без учета, каких либо факторов, кроме лагового значения первого порядка:

${ \mathcal {4} y(k)=b \cdot y(k-1)+ \varepsilon(k)}$

2. На наличие единичного корня с учетом смещения:

${ \mathcal {4} y(k)=a_0+b \cdot y(k-1)+ \varepsilon(k)}$

3. На наличие единичного корня с учетом смещения и тренда:

${ \mathcal {4} y(k)=a_0+a_1 \cdot k + b \cdot y(k-1)+ \varepsilon(k)}$

Если b = 0 (в этом случае p = b + 1 = 0 + 1 = 1), то в процессе присутствует единичный корень, то есть ряд y не стационарен, и его порядок интегрированности один I(1). Но ряд первых разностей ${\mathcal {4} y}$ уже может быть стационарным (если в ряде y не заложена интегрированность более высокого порядка).

Если b < 0, то a < 1 и стационарным является ряд y.

Критические значения статистики Дики-Фуллера

При нуль гипотезе H₀ считается, что b = 0, то есть процесс с единичным корнем (не стационарный).

В противном случае, если нуль гипотеза не подтверждается достаточным значением t-статистики то считается, что ряд стационарный.

Каждый из трех типов теста (без учета и с учетом смещения и тренда) имеет собственные критические значения t-статистики Стьюдента, которые берутся из специальной таблицы Дики-Фуллера. Критические значения таблицы Дики-Фуллера обозначаются как τ_{критическое}. Эти значения показывают силу принятия гипотезы.

Если | τ | > τ_{критическое}, где ${| \tau | = \left | \frac{\hat{b}}{SE_b} \right |}$ то нуль гипотеза о нестационарности ряда откидывается.

${\hat{b}}$ — оценка коэффициента b.

SE_b — стандартная ошибка оценки ${\hat{b}}$.

Бывают случаи, когда возникает экзотическая ситуация — одновременно b = 0 и | τ | > τ_{критическое}, тогда ряд y описывается моделью случайного блуждания.

Примечания

1. ↑ Dickey D.A. and Fuller W.A. «Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root» / Journal of the American Statistical Association. — 74. — 1979. — p. 427-431.
2. ↑ 2003 Nobel Prize in Economics
3. ↑ учебные материалы

Связать^?