Группа Гейзенберга

Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида

$\begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix},$

где элементы a, b, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется:

• кольцо вещественных чисел $R=\mathbb{R}$ — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается $H_3(\mathbb{R})$, или
• кольцо целых чисел $R=\mathbb{Z}$ — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается $H_3(\mathbb{Z})$, или
• кольцо вычетов $R=\mathbb{Z}_p$ с простым числом p — группа обозначается $H_3(\mathbb{Z}_p)$.

Названа в честь Вернера Гейзенберга, который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.

Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга $H_{n+2}, \ n \ge 1,$ состоит из квадратных матриц порядка n+2:

$\begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & E_n & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix},$

где $\,E_n$ — единичная матрица порядка n и $a=(a_1, \ldots, a_n)$ — вектор-строка, $b=(b_1, \ldots, b_n)^*$ — вектор-столбец, элементы $\,a_i, b_i, c$ принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.

Непрерывная группа Гейзенберга $H_{n+2}(\mathbb{R})$ представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией $\mathbb{R}$), алгебра Ли которой (размерности 2n+1) состоит из матриц вида

$\begin{pmatrix} 0 & a & c\\ 0 & 0_n & b\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}, \qquad a=(a_1, \ldots, a_n), \quad b=(b_1, \ldots, b_n)^*, \qquad a_i, b_i, c \in \mathbb{R},$

где $\,0_n$ — нулевая квадратная матрица порядка n.

References

• Кириллов А.А. Элементы теории представлений, — М.: Наука, 1978.
• Ernst Binz & Sonja Pods. Geometry of Heisenberg Groups, — American Mathematical Society, 2008, ISBN 9780821844953.
• Roger Evans Howe. On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis, — Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
• A.A. Kirilov. Lectures on the Orbit Method (Chapter 2: Representations and Orbits of the Heisenberg Group), — American Mathematical Society, 2004.