Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Крамером в 1936 году,^[1] утверждающая, что

$p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\$

где $p_n$ обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что пробелы между последовательными простыми всегда маленькие. Эта гипотеза пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно $\frac{1}{\ln x}$. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.^[1]

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

$p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n)$

предполагая истинной гипотезу Римана.^[1]

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,^[2]

$\limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty.$

Гипотеза Крамера-Грэнвилля

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших пробелов между простыми, несколько более строгую, чем гипотеза Крамера.^[3]

В вероятностной модели,

$\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c,$ с $c = 1.$

Но константа $c$ возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Грэнвилль в 1995 году утверждал, что константа $c = 2e^{-\gamma}\approx1.1229\ldots.$^[4], где $\gamma$ — постоянная Эйлера

Thomas Nicely вычислил много наибольших пробелов между простыми.^[5] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив частное R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми; он писал, «Для наибольших известных пробелов, R остается равным примерно 1,13,» что показывает, как мининмум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера видится как лучшее приближение для данных.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел
• Интервалы между простыми числами
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрики — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми

Ссылки

1. ↑ ^{1 2 3} Cramér, Harald (1936), "«On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers»", Acta Arithmetica Т. 2: 23–46, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf> .
2. ↑ Westzynthius, E. (1931), "«Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind»", Commentationes Physico-Mathematicae Helingsfors Т. 5: 1-37 .
3. ↑ Shanks, Daniel (1964), "«On Maximal Gaps between Successive Primes»", Mathematics of Computation (American Mathematical Society) . — Т. 18 (88): 646–651, DOI 10.2307/2002951 .
4. ↑ Granville, A. (1995), "«Harald Cramér and the distribution of prime numbers»", Scandinavian Actuarial Journal Т. 1: 12–28, <http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf> .
5. ↑ Nicely, Thomas R. (1999), "«New maximal prime gaps and first occurrences»", Mathematics of Computation Т. 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, <http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html> .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.