КРАМЕРА - МИЗЕСА КРИТЕРИЙ

непараметрический критерий для проверки гипотезы Н ₀, согласно к-рой независимые одинаково распределенные случайные величины Х ₁, ..., Х _n имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x). К.- М. к. основан на статистике вида

где - функция эмпирического распределения, построенная по выборке - некоторая неотрицательная функция, определенная на отрезке [0, 1] и такая, что интегрируемы на [0, 1]. Критерии такого типа, основанные на квадратичной метрике, впервые были рассмотрены Г. Крамером [1] и Р. Мизесом [2]. Н. В. Смирнов предложил выбрать и показал, что в этом случае при справедливости гипотезы статистика [1] имеет в пределе "омега-квадрат" распределение, не зависящее от гипотетич. функции распределения F(x). Стати-стич. критерий для проверки гипотезы Н ₀, основанный на статистике наз. критерием (критерием Крамера - Мизеса - Смирнова), при этом для нахождения численного значения статистики пользуются следующим ее представлением:

где - вариационный ряд, построенный по выборке X₁..., Х _n. Согласно критерию w² с уровнем значимости а, гипотеза H₀ отвергается, коль скоро - верхняя а-квантиль распределения w², т. е.Аналогично устроен критерий, предложенный Т. Андерсоном и Д. Дарлингом (см. [5]), основанный на статистике

Лит.:[1] С r a m e r Н., Sannolikhetskalkylen och nagra av dess anvandningar, Stockh., [19261; [2] M i s e s R. V., Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Statistik und theoretischen Physik, Lpz.- W., 1931; [3] Смирнов Н. В., "Матем. сб.", 1937, т. 2, № 5, с. 973-93; [4] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [5] A n d е r s о n T. W., D а r l i n g D. A., "Ann. Math. Stat.", 1952, v. 23, p. 193-212. M. С. Никулин.