Гипотеза Диксона

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм $a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k~$ при $a_j\geqslant 1~$, имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Формулировка

Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий $a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k~$ с целыми $a_j,b_j~$, причем $a_j\geqslant 1~$. Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел $a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k~$ являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число $a_jn+b_j~$ кратно p. Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение $(a_1n+b_1)(a_2n+b_2)...(a_kn+b_k)\equiv 0\pmod p$. В последнем случае на p делится может как несколько прогрессий при разных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для 2-х прогрессий $n, 2n~$ всегда $2\mid 2n~$, а для 2-х других прогрессий $n,n+3~$ при четных n $2\mid n~$, а при нечетных — $2\mid n+3~$, так что в парах прогрессий $n, 2n~$ и $n,n+3~$ число простых пар не бесконечно.

Заметим также, что более формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа $2,3,5,...~$, но отрицательные числа $-2,-3,-5,...~$ (каковые действительно являются простыми элементами в кольце $\mathbb{Z}~$ в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий $a_jn+b_j~$ и значит условие $a_j\geqslant 1~$ можно ослабить до $a_j\neq 0~$, а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе $a_jn+b_j~$ — не арифметическая прогрессия.

Частные случаи

• Случай $k=1~$ уже доказан — это Теорема Дирихле.
• Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
• Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида $n, n+2t~$, t — фиксированное натуральное число (то есть число бесконечно число простых пар $(n, n+2)~$, $(n, n+4)~$, $(n, n+6)~$ и т. п.)
• Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n $p\mid (n+b_1)(n+b_2)...(n+b_k)~$, то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары $(n, n+2)~$, тройки $(n, n+2, n+6)~$, четверки $(n, n+2, n+6, n+8)~$ и т. д.)
• В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Эвристические соображения в пользу гипотезы

Пусть $w(p)~$ — число решений сравнения $(a_1n+b_1)(a_2n+b_2)...(a_kn+b_k)\equiv 0\pmod p~$. Согласно предположению гипотезы, $w(p)<p~$ и тогда согласно эвристическим рассуждениям в пользу гипотезы Bateman-Horn, получаем, что плотность чисел n не превосходящих x, для которых все числа $a_jn+b+j~$ простые, оценивается величиной

$\prod\limits_p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^k}\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln ^k t},~$

здесь произведение берется по всем простым числам p, а $\ln~$ — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна $\prod\limits_p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^k}\frac{x}{\ln ^k x},~$

но 1-е выражение должно быть точнее. При $k=1~$, нетрудно проверить, коэффициент будет равен $\frac{1}{\varphi(a_1)}~$, что соответствует теореме Дирихле (здесь $\varphi~$ — функция Эйлера).

Обобщения

Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.

См. также

• Простые числа-триплеты
• Простые числа Софи Жермен
• Гипотеза Полиньяка
• Теорема Грина — Тао
• Арифметические прогрессии из простых чисел
• Гипотеза Бейтмана — Хорна

Ссылки

• Dickson, L. E. (1904), "«A new extension of Dirichlet's theorem on prime numbers»", Messenger of mathematics Т. 33: 155–161, <http://books.google.com/books?id=i8MKAAAAIAAJ&pg=PA155> 
• Ribenboim, Paulo (1996), «The new book of prime number records», Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94457-9, <http://books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC> 
• http://primes.utm.edu/glossary/xpage/DicksonsConjecture.html