Арифметические прогрессии из простых чисел

Несколько простых чисел могут быть членами арифметической прогресии.

Все последовательности простых чисел, являющихся строго последовательными элементами некоторой арифметической прогрессии, конечны, однако существуют сколь угодно длинные такие последовательности (см. Теорема Грина — Тао).

Примеры простых чисел в арифметической прогрессии

длина	разность	последовательность
3	2	3, 5, 7
5	6	5, 11, 17, 23, 29
6	30	7, 37, 67, 97, 127, 157
7	150	7, 157, 307, 457, 607, 757, 907
10	210	199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089
12	13860	110437, 124297, 138157, 152017, 165877, 179737, 193597, 207457, 221317, 235177, 249037, 262897
13	30030	14933623, 14963653, 14993683, 15023713, 15053743, 15083773, 15113803, 15143833, 15173863, 15203893, 15233923, 15263953, 15293983

По состоянию на апрель 2010 г., самая длинная из известных последовательностей такого типа имеет длину 26:

43142746595714191 + 5283234035979900 · n, где n = 0 ... 25.

Последовательности без пропусков

Можно потребовать, чтобы между соседними членами прогрессии не было других простых чисел, т. е. чтобы прогрессия представляла собой часть общей последовательности простых чисел.

Примеры простых чисел в арифметической прогрессии без пропусков

длина	разность	последовательность
3	2	3, 5, 7
4	6	251, 257, 263, 269
5	30	9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139
6	30	121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961

Самые длинные из известных последовательностей такого типа имеют длину 10.