Гипотеза Каталана

Гипо́теза Катала́на — утверждение в теории чисел, сформулированное Эженом Каталаном в 1844 году.^[1]

В 2002 году румынский математик Преда Михалеску (англ.) доказал эту гипотезу.^[2]

Обобщением гипотезы Каталана является гипотеза Пиллаи.

Формулировка

Уравнение: $x^a-y^b=1\;(x, y, a, b > 1)$ имеет единственное решение в натуральных числах: $x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3$.

Иными словами, кроме $2^3=8$ и $3^2=9$ не существует других последовательных степеней натуральных чисел.

Примечания

1. ↑ E. Catalan Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur (фр.) // J. Reine Angew. Math.. — 1844. — Т. 27. — № 192. — С. 165–186.
2. ↑ P. Mihăilescu Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture (англ.) // J. Reine angew. Math.. — 2004. — Т. 572. — № 572. — С. 167–195. — DOI:10.1515/crll.2004.048.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Catalan's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.