Гипотеза Бёрча

Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория Янга — Миллса
Существование и гладкость  решений уравнений Навье — Стокса
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия (за её решение институтом Клэя предложен приз в $1 млн.)

Бёрч и Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предпoложили, что ранг $r~$ эллиптической кривой $E~$ над $\mathbb{Q}~$ решений равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля (en) $E(L,s)~$ в точке $s=1~$. Более детально, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел $B_E=\lim\limits_{s \to 1} \frac{L(E,s)}{(s-1)^r}~$, где значение $B_E~$ зависит от тонких арифметических инвариантов кривых.

Наиболее ярким частным результатом по состоянию на 2011 год остается доказанное в 1977 году Джоном Коутсом и Эндрю Уайлсом утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая $E~$ содержит бесконечно много рациональных точек, то $E(L,1)=0~$.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых.

Литература

1. Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
2. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.

См. также

• Открытые математические проблемы
• Эллиптическая кривая
• L-функция Дирихле

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Викифицировать статью. Викифицировать список литературы, используя шаблон {{книга}}, и проставить ISBN. Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).