- Существование и гладкость решений уравнений Навье
-
Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза ПуанкареГипотеза Римана Квантовая теория
Янга — МиллсаСуществование и гладкость
решений уравнений
Навье — СтоксаГипотеза
Бёрча — Свиннертон-ДайераСуществование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.
Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.
Уравнения Навье — Стокса
В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.
Пусть
— трёхмерный вектор скорости жидкости,
— давление. Тогда уравнения Навье — Стокса записываются так:
где
— это кинематическая вязкость,
— плотность,
— внешняя сила,
— оператор набла и
— оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как
. Отметим, что это векторное уравнение, то есть оно содержит три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как
то для каждого значения
получается соответствующее скалярное уравнение Навье — Стокса:
Неизвестными величинами являются скорость
и давление
. Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы
Если среду считать несжимаемой, то это уравнение преобразуется в условие несжимаемости жидкости:
Ссылки
- Официальное описание задачи, данное Чарльзом Фефферманом (англ.)
- Проблемы 2000 года: уравнения Навье-Cтокса // Компьютерра, 5 октября 2005 года
Категории:- Задачи тысячелетия
- Гидродинамика
Wikimedia Foundation. 2010.