Альтернативная матрица

Не следует путать с Альтернирующей матрицей (англ.)русск..

Альтернати́вная ма́трица^[1][2] (англ. Alternant matrix) — в линейной алгебре матрица специального вида размерности $m \times n$, задаваемая с помощью $m$ элементов $\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_m$ и $n$ функций $f_1, f_2, \dots f_n$ так, что каждый элемент матрицы $M_{i,j} = f_j(\alpha_i)$^[3] или, в развёрнутом виде:

$M=\begin{bmatrix} f_1(\alpha_1) & f_2(\alpha_1) & \dots & f_n(\alpha_1)\\ f_1(\alpha_2) & f_2(\alpha_2) & \dots & f_n(\alpha_2)\\ f_1(\alpha_3) & f_2(\alpha_3) & \dots & f_n(\alpha_3)\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ f_1(\alpha_m) & f_2(\alpha_m) & \dots & f_n(\alpha_m)\\ \end{bmatrix}$

Иногда альтернативная матрица определяется в траспонированном виде.

Примеры и использование альтернативных матриц

Распространённый и часто встречающийся частный случай альтернативной матрицы — матрица Вандермонда. Альтернативная матрица принимает этот вид при $f_i(\alpha)=\alpha^{i-1}$. (Некоторые авторы называют именно матрицу Вандермонда альтернативной^[4][5].) Более редкий частный случай альтернативной матрицы — матрица Мура (англ.)русск., в которой $f_i(\alpha)=\alpha^{q^{i-1}}$.

В более общем виде альтернативные матрицы применяются в теории кодирования.

Свойства альтернативных матриц

Если исходная альтернативная матрица квадратная и если все функции $f_j(x)$ полиномиальны, то при условии $\alpha_i = \alpha_j$ для всех $i < j$ детерминант альтернативной матрицы равен нулю, и таким образом, $(\alpha_j - \alpha_i)$ является делителем детерминанта такой альтернативной матрицы при любых $i, j$, удовлетворяющим условию $1 \leq i < j \leq n$. Следовательно, детерминант Вандермонда

$V = \begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \dots & \alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-1} \\ 1 & \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-1} \\ \end{bmatrix}$

равный $\prod_{i < j} (\alpha_j - \alpha_i)$ также является делителем детерминантов таких альтернативных матриц. Отношение $\frac{\det M}{\det V}$ носит специальное название «биальтернант».

Заметим также, что в случае, когда $f_j(x) = x^{m_j}$, мы получаем классическое определение многочленов Шура.

См. также

• Матрица Вандермонда
• Список матриц

Литература

• A. C. Aitken Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 111—123. — 144 с.
• Richard P. Stanley Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 2. — С. 334–342. — ISBN 0521560691
• Thomas Muir A treatise on the theory of determinants. — Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2003. — С. 321—363. — 766 с. — ISBN 0486495531

Примечания

1. ↑ Alternant matrix. Аcademic.ru. Проверено 17 ноября 2012.
2. ↑ Alternant matrix. Multitran.ru. Проверено 17 ноября 2012.
3. ↑ A. C. Aitken Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 112. — 144 с.
4. ↑ Hrishikesh D. Vinod Hands-on matrix algebra using R: active and motivated learning with applications. — Singapore: World Scientific, 2011. — С. 290. — 329 с. — ISBN 9814313688
5. ↑ Marvin Marcus, Henryk Minc A survey of matrix theory and matrix inequalities. — New York: Dover, 1992. — С. 15. — 180 с. — ISBN 048667102X