Многочлены Шура

Многочлены Шура в алгебре—названные в честь И. Шура симметрические многочлены $n$ переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму $n$ неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем $n$ столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы $S_n$ .

Формальное определение

Многочлен Шура степени $d$ , соответствующий разбиению $d=d_1+\dots+d_n, \quad d_1\ge \dots\ge d_n\ge 0,$ равен^[1]

$s_{(d_1,\dots,d_n)}(x_1,\dots,x_n) = \frac{\det (x_i^{d_j+n-j})_{i,j=1}^n}{\det (x_i^{n-j})_{i,j=1}^n}.$

Связь с представлениями симметрической группы

Многочлен Шура $s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n)$ , соответствующий диаграмме Юнга $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона $p_k(x_1,\dots,x_n)=\sum_j x_j^k$ с коэффициентами, выражающимися через значения характера $\chi_{\lambda}$ соответствующего $\lambda$ представления симметрической группы $S_n$ . А именно,

$s_\lambda=\sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda (\rho) \cdot \prod_k \frac{p^{r_k}_k}{r_k!},$

где запись $\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)$ означает, что в классе сопряжённости $\rho$ в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется $r_j$ циклов длины $j$ .