Алгоритм Метрополиса

Алгоритм Метрополиса — Гастингса — алгоритм семплирования, использующийся, в основном, для сложных функций распределения. Он отчасти похож на алгоритм выборки с отклонением, однако здесь вспомогательная функция распределения меняется со временем. Алгоритм был впервые опубликован Николасом Метрополисом в 1953 году, и затем обобщён К. Гастингсом в 1970 году. Семплирование по Гиббсу является частным случаем алгоритма Метрополиса — Гастингса и более популярно за счёт простоты и скорости, хотя и реже применимо.

Алгоритм Метрополиса-Гастингса позволяет семплировать любую функцию распределения. Он основан на создании цепи Маркова, то есть на каждом шаге алгоритма новое выбранное значение $x^{t+1}$ зависит только от предыдущего $x^t$. Алгоритм использует вспомогательную функцию распределения $Q(x'|x^t)$, зависящую от $x^t$, для которой генерировать выборку просто (например, нормальное распределение). На каждом шаге для этой функции генерируется случайное значение $x'$. Затем с вероятностью

$u = \frac{P(x')Q(x^{t}|x')}{P(x^{t})Q(x'|x^{t})}$

(или с вероятностью 1, если $u > 1$), выбранное значение принимается как новое: $x^{t+1} = x'$, а иначе оставляется старое: $x^{t+1} = x^{t}$.

Например, если взять нормальную функцию распределения как вспомогательную функцию, то

$Q( x'| x^t ) \sim N( x^t, \sigma^2 I).$

Такая функция выдаёт новое значение в зависимости от значения на предыдущем шаге. Изначально алгоритм Метрополиса требовал, чтобы вспомогательная функция была симметрична: $Q(x',x^t) = Q(x^t,x')$, однако обобщение Гастингса снимает это ограничение.

Алгоритм

Пусть мы уже выбрали случайное значение $x^t$. Для выбора следующего значения сначала получим случайное значение $x'$ для функции $Q(x'|x^t)$. Затем найдем произведение $a = a_1a_2$, где

$a_1 = \frac{P(x')}{P(x^t)}$

является отношением вероятностей между промежуточным значением и предыдущим, а

$a_2 = \frac{Q(x^t|x')}{Q(x'|x^t)}$

это отношение между вероятностями пойти из $x'$ в $x^t$ или обратно. Если $Q$ симметрична, то второй множитель равен 1. Случайное значение на новом шаге выбирается по правилу:

$\begin{matrix} \mbox{If } a \geq 1: & \\ & x^{t+1} = x', \end{matrix}$

$\begin{matrix} \mbox{and if } a < 1: & \\ & x^{t+1} = \left\{ \begin{matrix} x'\mbox{ with probability }a \\ x^t\mbox{ with probability }1-a. \end{matrix} \right. \end{matrix}$

Алгоритм стартует из случайного значения $x^0$, и сначала прогоняется «вхолостую» некоторое количество шагов, чтобы «забыть» о начальном значении.

Лучше всего алгоритм работает тогда, когда форма вспомогательной функции близка к форме целевой функции $P$. Однако добиться этого априори зачастую невозможно. Для решения этой проблемы вспомогательную функцию настраивают в ходе подготовительной стадии работы алгоритма. Например, для нормального распределения настраивают его параметр $\sigma^2$ так, чтобы доля «принятых» случайных значений (то есть тех, для которых $x^{t+1} = x'$) была близка к 60 %. Если $\sigma^2$ слишком мала, то значения будут получаться слишком близкими и доля принятых будет высока. Если $\sigma^2$ слишком велика, то с большой вероятностью новые значения будут выскакивать в зоны малой вероятности $P$, отчего доля принятых значений окажется низкой.

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.