Алгебра Валя

Алгебра Валя

Алгебра Валя (или Алгебра Валентины) — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Условию антисимметричности:

g (A, B) =-g (B, A)

для всех A,B \in M.

2. Тождеству Валентины:

 J (g (A_1, A_2), g (A_3, A_4), g (A_5, A_6)) =0

для всех A_k \in M, где k=1,2,…,6, и

 J (A, B, C):= g (g (A, B), C)+g (g (B, C), A)+g (g (C, A), B).

3. Условию билинейности:

 g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)

для всех A,B,C \in M и a,b \in F.

Можно сказать, что M является алгеброй Валентины, если коммутант этой алгебры является лиевой подалгеброй. Любая алгебра Ли является алгеброй Валентины.

Билинейная мультипликативная операция в алгебре Валентины, так же как в алгебре Ли, не является ассоциативной операцией.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутатирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает ее в алгебру M^{(-)}. При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то M^{(-)} будет алгеброй Валя. Алгебра Валя является обобщением алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Валентины.

Алгебры Валя могут быть использованы для описания диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Примеры алгебры Валентины

(1) Любая конечная алгебра Валя является касательной алгеброй аналитических локальных коммутантно-ассоциативных луп (луп Валя), аналогично тому как конечные алгебры Ли являются касательными алгебрами аналитических локальных групп (групп Ли). Это утверждение является аналогом соответствия между аналитическими локальными группами (группами Ли) и алгебрами Ли.

(2) Билинейная операция для дифференциальных 1-форм

 \alpha=F_k(x)\, dx^k , \quad \beta=G_k(x)\, dx^k

на симплектическом многообразии, определяемая по правилу

 (\alpha,\beta)_0=d \Psi(\alpha,\beta)+ \Psi(d\alpha,\beta)+\Psi(\alpha,d\beta), \,

где (\alpha,\beta) — 1-форма. Эта билинейная операция на множестве незамкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Если \alpha и \beta являются замкнутыми 1-формами, то d\alpha=d\beta=0 and

 (\alpha,\beta)=d \Psi(\alpha,\beta). \,

Эта билинейная операция на множестве замкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Эта билинейная операция на множестве незамкнутых дифференциальных 1-форм задает уже не алгебру Ли, а алгебру Валентины, которая не является алгеброй Ли.

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Алгебра Валя" в других словарях:

  • Алгебра (значения) — Алгебра  раздел математики либо математическая структура специального вида (см. Алгебраическая система) Как раздел математики Абстрактная алгебра Алгебра логики  раздел математической логики. Коммутативная алгебра Линейная алгебра… …   Википедия

  • Операторная алгебра — Операторная алгебра  алгебра операторов, действующих на топологическом векторном пространстве. Операторные алгебры активно применяются в теории представлений и в дифференциальной геометрии, в квантовой механике и в квантовой статистической… …   Википедия

  • Коммутантно-ассоциативная алгебра — Коммутантно ассоциативная алгебра  неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам: 1. Тождеству коммутантной ассоциативности: , для всех . где   коммутатор элементов A …   Википедия

  • Алгебраическая система — (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре  множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений… …   Википедия

  • Операторные алгебры — Операторная алгебра алгебра операторов, действующих на топологическом векторном пространстве. Операторные алгебры активно применяются в теории представлений и в дифференциальной геометрии, в квантовой механике и в квантовой статистической физике …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»