- ГИЛЬБЕРТА НЕРАВЕНСТВО
- теорема Гильберта о двойных рядах:
где
и ряды в правой части имеют конечные положительные суммы, причем константа
- точная, т. е. не может быть уменьшена. Д. Гильберт (D. Hilbert) доказал (*) без точной константы в своих лекциях но интегральным уравнениям. Его доказательство было опубликовано Г. Вейлем [1]. Точная константа найдена И. Шуром [2], а неравенство (*) с произвольным 
впервые приводится в работах Г. Харди (G. Hardy) и М. Рисса (М. Riesz) в 1925. Имеются интегральные аналоги и обобщения неравенства (*), напр., неравенство
где
- неотрицательное ядро, однородное со степенью 
и
и полученный ранее [4] частный случай этого неравенства с ядром
(так наз. двупараметри-ческое Г. н.) и константой 
. Точность этой константы доказана при 
. Она является также асимптотически точной при 
и произвольном допустимом фиксированном q. Вопрос об асимптотике константы в (*) для конечных сумм 
не решен (1977); здесь известно только, что при 
константа равна
Лит.:[l] Weyl H., Singulare Integralgleichungen mit besonderer Berucksichtigung des Fourielschen Integraltheorems, Inaugural Dissertation, Go'tt., 1908; [2] Sсhur I., "J. fur Math.", Bd 140, 1911, S. 1-28; [3] Xарди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [4] Воnsаll F. P., "Quart. J. Math.", 1951, v. 2, p. 135-50; [5] Levin V., "J. London Math. Soc.", 1936, v. 11, p. 119-24; [6] Dе Вruijn N. G., Wilf H. S., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1962, v. 68, p. 70-3; [7] Walker P. L., "Proc. Edinburgh Math. Soc.", 1973, v. 18, № 4, p. 293-94. Е. К. Годунова.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
