Соотношения Крамерса

Соотноше́ния Кра́мерса — Кро́нига — интегральная связь между действительной и мнимой частями любой комплексной функции, аналитичной в верхней полуплоскости. Часто используются в физике для описания связи действительной и мнимой частей функции отклика физической системы, поскольку аналитичность функции отклика подразумевает, что система удовлетворяет принципу причинности, и наоборот ^[1]. В частности, соотношения Крамерса — Кронига выражают связь между действительной и мнимой частями диэлектрической проницаемости.

Определение

Для комплексной функции $\chi(\omega) = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega)$ комплексной переменной $\omega,$ аналитичной в верхней полуплоскости $\omega$ и стремящейся к нулю при $|\omega| \rightarrow \infty,$ соотношения Крамерса — Кронига записываются следующим образом:

$\chi_1(\omega) = {1 \over \pi} v.p. \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_2(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega'$

и

$\chi_2(\omega) = -{1 \over \pi} v.p. \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_1(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',$

где символы $v.p.$ означает взятие интеграла в смысле главного значения (по Коши). Видно, что $\chi_1(\omega)$ и $\chi_2(\omega)$ не являются независимыми, а значит, полная функция может быть восстановлена, если задана только её действительная или мнимая часть.

В более компактной форме:

$\chi(\omega) = {1 \over i \pi} v.p. \int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega'.$

Соотношения Крамерса — Кронига в физике^[2][3]

Важным примером применения соотношений Крамерса — Кронига в физике является выражение дисперсионных соотношений в классической электродинамике. В этом случае $\varepsilon(\omega) = \varepsilon^\prime(\omega) + i\varepsilon^{\prime\prime}(\omega)$ — диэлектрическая проницаемость, ω — частота.

$\varepsilon^\prime(\omega) -1 = \frac{1}{\pi} v.p. \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon^{\prime\prime}(x)}{x-\omega} dx$

и

$\varepsilon^{\prime\prime}(\omega) = - \frac{1}{\pi} v.p. \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon^\prime(x) -1}{x-\omega} dx.$

Действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости определяют соответственно показатель преломления и показатель поглощения (оптические постоянные) данной среды. Таким образом, эти показатели не являются независимыми один от другого и, следовательно, появляется принципиальная возможность по спектру одной из оптических постоянных вычислять спектр другой, не прибегая к непосредственным измерениям последнего. Это позволяет в ряде случаев уменьшить объём экспериментально получаемой информации, необходимой для определения оптических постоянных, например, в области интенсивных полос поглощения конденсированных сред. Выполнимость соотношений Крамерса-Кронига неоднократно проверялась экспериментально для различных сред в различных агрегатных состояниях и при различной температуре (кристаллы, жидкости, растворы)^[4][5].

История

Соотношения Крамерса — Кронига установлены в 1926-1927 гг. Ральфом Кронигом^[6] и Хендриком Крамерсом^[7] и названы в их честь.

Примечания

1. ↑ John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations, Physical Review, vol. 104, pp. 1760—1770 (1956).
2. ↑ Martin P. Sum rules Kramers – Kronig relations and transport coefficients in charged systems // Phys. Rev.. — 1967. — Т. 161. — С. 143.
3. ↑ Агранович В. М., Гинзбург В. Л. Кристаллооптика с учётом пространственной дисперсии и теории экситонов. — М., 1979.
4. ↑ Альперович Л. И., Бахшиев Н. Г., Забиякин Ю. Е., Либов В. С. Соотношения Крамерса - Кронига для молекулярных спектров жидкостей и растворов // Оптика и спектроскопия. — 1968. — Т. 24. — С. 60 - 63.
5. ↑ Забиякин Ю. Е. Проверка дисперсионных соотношений Крамерса - Кронига в широком интервале температур // Оптика и спектроскопия. — 1968. — Т. 24. — С. 828 - 829.
6. ↑ R. de L. Kronig, On the theory of the dispersion of X-rays, J. Opt. Soc. Am., vol. 12, pp. 547—557 (1926).
7. ↑ H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2, p. 545—557 (1927) .