Соотношения Мэнли

Соотношения Мэнли — Роу — энергетические соотношения, характеризующие взаимодействие колебаний или волн в нелинейных системах с сосредоточенными или распределёнными параметрами. Они были впервые получены в 1956 году Дж. Мэнли и Г. Э. Роу для колебаний в нелинейной реактивной системе с сосредоточенными параметрами, а впоследствии обобщены на волны в нелинейных средах.

Соотношения Мэнли — Роу справедливы для системы с произвольной реактивной нелинейностью. В совокупности с законами сохранения энергии и импульса, соотношения Мэнли — Роу определяют характер нелинейного взаимодействия волн (колебаний) и позволяют рассчитать максимальную эффективность преобразователя частоты на реактивной нелинейности.

Общий вид

В общем виде соотношения Мэнли — Роу могут быть записаны следующим образом:

$\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{m\cdot P_{mn}}{m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2}=0,\ \ \ m\in\Z$

$\sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cdot P_{mn}}{m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2}=0,\ \ \ n\in\Z$

где

• $P_{mn}$ — изменение мощности на комбинационной частоте $m\cdot\omega_\text{H}+n\cdot\omega_\text{C}$,
• $\omega_1,\omega_2$ — частоты исходных колебаний (волн). Причём отношение $\frac{\omega_2}{\omega_1}$ должно быть иррационально, поскольку в противном случае, возможно выразить все частоты как гармоники одной фундаментальной частоты.</math>

Доказательство ^[1]  

Пусть в единицу времени появляется или исчезает $A_{mn}$ квантов комбинационной частоты. Тогда мощность на комбинационной частоте выражается как:

$P_{mn}=A_{mn}\cdot\hbar \cdot(m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2),$ (*)

Поскольку энергия в системе не появляется и не исчезает, то общая мощность равна нулю:

$\sum_{m,n}P_{mn}=\sum_{m,n}\hbar A_{mn}\cdot(m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2)=0$

Поскольку $\frac{\omega_2}{\omega_1}$ иррационально, а $m,n,A_{mn}$ — целые числа, то это равенство выполняется только если оба слагаемых равны нулю:

$\sum_{m,n}m\cdot A_{mn}=\sum_{m,n}n\cdot A_{mn}=0$

Выразив $A_{mn}$ из (*) и подставив в последнее выражение, получим соотношения:

$\sum_{m,n}\frac{m\cdot P_{mn}}{m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2}=\sum_{m,n}\frac{n\cdot P_{mn}}{m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2}$

Первое из соотношений Мэнли — Роу представляет собой закон сохранения числа квантов, которые в зависимости от природы взаимодействующих волн представляют собой фотоны, фононы, плазмоны, магноны или другие взаимодействующие квазичастицы.

Можно вычислить следующие величины:

• $A_{mn}=\frac{|P_{mn}|}{\hbar \cdot(m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2)}$ — число квантов комбинационной частоты;
• $m\cdot A_{m,n}$ — число квантов частоты $\omega_1$, затраченных ($P_{mn}>0$) или образованных ($P_{mn}<0$) при возбуждении комбинационной частоты;
• $n\cdot A_{m,n}$ — число квантов частоты $\omega_2$, затраченных ($P_{mn}>0$) или образованных ($P_{mn}<0$) при возбуждении комбинационной частоты.

Соотношения для трёхчастотного взаимодействия

Рассмотрим соотношения Мэнли — Роу в частном случае трёхчастотного взаимодействия. Пусть, например, комбинационной является разностная частота $\omega_0=\omega_1-\omega_2$. Тогда система имеет три частоты:

• $\omega_0\ (m=1,n=-1)$
• $\omega_1\ (m=1,n=0)$
• $\omega_2\ (m=0,n=1)$

В этом случае соотношения Мэнли — Роу принимают вид:

$\frac{P_{0,1}}{\omega_2}=\frac{P_{1,-1}}{\omega_0}=-\frac{P_{1,0}}{\omega_1}$

Обобщение для комбинации многих частот

Пусть источники или стоки квантов происходят на частотах

$\sum_{i=1}^N m_i \omega_i,\ \ \frac{\omega_i}{\omega_j}\notin\Q$

В этом случае будем иметь систему из $N$ соотношений:

$\sum_{m_1,m_2,\ldots,m_N}\frac{m_i\cdot P_{m_1m_2\ldots m_N}}{m_1\cdot\omega_1+m_2\cdot\omega_2+\ldots+m_N\cdot\omega_N}=0,\ \ \ i=\overline{1,N}$

Примечания

1. ↑ J. Brown Proof of the Manley-Rowe relations from quantum considerations. — 1965.

Ссылки

• Соотношения Мэнли — Роу — статья из Физической энциклопедии