Дисперсионные соотношения

Дисперсио́нные соотноше́ния — интегральные уравнения, связывающие действительную и мнимую части преобразования Фурье функции отклика линейной физической системы на внешние воздействия. Являются прямыми следствиями физического принципа причинности и не зависят от конкретного механизма взаимодействия системы с внешним воздействием.

Определение

Пусть f(z) является комплексной функцией, аналитичной в верхней полуплоскости, и $f(z) \rightarrow 0$ при $|z| \rightarrow \infty.$ Предположим, что имеющая физический смысл функция F(x) есть f(z) на вещественной оси или, в случае наличия точки ветвления, предел f(z) при z, стремящемся к вещественной оси сверху.

$F(x)=\lim_{\epsilon \to 0}f(x+i \epsilon).$

Дисперсионные соотношения записываются в виде интегральных уравнений:

$F(x) =\frac{1}{\pi i} P \int_{-\infty}^{\infty}\frac{F(x')}{x'-x} dx',$

$\operatorname{Re} F(x) = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{Im} F(x')}{x'-x} dx',$

$\operatorname{Im} F(x) = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{Re} F(x')}{x'-x} dx';$

здесь $\mathcal{P}$ — символ интеграла в смысле главного значения. Дисперсионные соотношения выводятся с применением интегральной формулы Коши и, таким образом, не зависят от конкретной рассматриваемой модели физического явления.

Физический смысл

«Отклик» $\varphi(t)$ линейной системы на «возмущение» $g(t)$ можно записать в виде: $\varphi (t) = \int K(t-t')g(t')dt',$ где K(t) — функция Грина системы. Рассматриваемые функции f(z) представляют собой преобразования Фурье таких функций Грина: $f(z) = \int \exp (itz) K(t) dt.$ Требование причинности, состоящее в невозможности возникновения отклика раньше причины, означает, что K(t) = 0 при t < 0. Следствием принципа причинности является то, что функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости и $f(z) \rightarrow 0$ при $|z| \rightarrow \infty.$

Где применяются

В квантовой теории поля, при расчёте амплитуд рассеяния. Дисперсионные соотношения связывают непосредственно получаемые из опыта величины, такие как амплитуды вероятностей или сечения различных переходов.

История

Впервые были получены Крамерсом и Кронигом в классической теории дисперсии, при изучении зависимости показателя преломления среды от частоты света, для действительной и мнимой части показателя преломления среды.

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. // Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
• К. Нисидзима Фундаментальные частицы. // пер. с англ. Б. А. Лысова, под ред. А. А. Соколова, Мир, 1965, гл. 4 Теория пионов, п. 9 Дисперсионные соотношения для пион-нуклонного рассеяния, с. 151;
• Бартон Г., Дисперсионные методы в теории поля, пер. с англ., M., 1968.