Временное среднее

Временно́е среднее функции по траектории динамической системы — это предел чезаровских средних значений функции в точках траектории.

Рассмотрим динамическую систему c дискретным временем, заданную итерациями отображения $f\colon X\to X$. Пусть на фазовом пространстве $X$ задана функция $\varphi\colon X\to \mathbb R$. Частичным временны́м средним функции $\varphi$ по орбите точки $x$ за $n$ шагов называется чезаровское среднее значений функции в точках орбиты:

$\bar\varphi^n(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \varphi\circ f^k(x)$.

Временны́м средним называется предел частничных временных средних при $n\to \infty$:

$\bar\varphi(x)=\lim_{n\to \infty} \bar\varphi^n=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}\varphi\circ f^k(x)$

Для системы с непрерывным временем временное среднее определяется следующим образом. Пусть преобразование фазового потока задается функцией $f(\cdot;t)\colon X \to X$. Тогда временное среднее определяется как предел следующего вида:

$\bar \varphi(x)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\varphi\circ f(x;t)\, dt$

Одним из важных результатов эргодической теории является равенство временных и пространственных средних (т.е. интеграла по пространству) непрерывных функций для почти всех траекторий эргодических систем.

Пример Боуэна дает пример системы, в которой типичная непрерывная функция не имеет временных средних для почти всех начальных условий.

Ссылки

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1