Полярный момент инерции

Не следует путать с Момент инерции.

Схема к вычислению полярного момента инерции

Поля́рный моме́нт ине́рции — интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса — ρ² (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения. То есть:

$J_{p0} = \int_A \rho ^2\, dA$

Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивление кручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м⁴, cм⁴) и может быть лишь положительной.

Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен:

$J_{p0} = \int_0^{2\pi} \int_0^r \rho^2 \rho\, d\rho\, d\phi = \frac{\pi r^4}{2}$

Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то

$J_{p0} = J_x + J_y$

потому что $\rho^2 = x^2 + y^2$.

Применение

Полярный момент инерции используется в формулах, которые описывают зависимость между касательными напряжениями и крутящим моментом, который их вызывает. Касательное напряжение:

$\tau = \frac{T r}{J_{p0}}$

где

$T$ — крутящий момент,

$r$ — расстояние от оси кручения

${J_{p0}}$ — полярный момент инерции.

Полярный момент инерции для некоторых случаев

Распределение касательных напряжений при кручении

Для круглого сплошного сечения:

$J_{p0} = \frac{\pi D^4}{32}$

где D — диаметр круга.

Для кольцевого сечения (полый вал):

$J_{p0} = \frac{\pi D^4}{32} \left( 1 - \frac{d^4}{D^4} \right)$

где

D — внешний диаметр кольца,

d — внутренний диаметр кольца.

См. также

• Полярный момент сопротивления
• Момент инерции

Литература

• Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. Изд. 10-е, перераб. и доп. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999 год. Рецензенты академик РАН Образцов И. Ф. и д. т. н профессор Чирков И. П.