Стационарное распределение

Стациона́рное распределе́ние цепи Маркова — это такое распределение вероятности, которое не меняется с течением времени.

Определение

Пусть $\{X_n\}_{n \ge 0}$ — однородная цепь Маркова с дискретным временем, счётным пространством состояний $\{1,2,\ldots\}$, и матрицей переходных вероятностей $P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots$. Тогда дискретное распределение $\mathbf{q} = (q_1, q_2, \ldots )^{\top}$ называется стациона́рным (инвариа́нтным), если

$\mathbf{q} P = \mathbf{q}$.

Замечание

Если $\mathbf{q}$ — начальное распределение цепи $\{X_n\}$, то есть

$\mathbb{P}(X_0 = i) = q_i,\quad i \in \mathbb{N}$,

то и распределение всех остальных членов $X_n, n \ge 1$ также совпадает с $\mathbf{q}$.

Основная теорема о стационарных распределениях

Пусть $\{X_n\}_{n \ge 0}$ — цепь Маркова с дискретным пространством состояний. Тогда у этой цепи существует единственное стационарное распределение тогда и только тогда, когда она

1. неразложима;
2. положительно возвратна.

См. также

• Эргодическое распределение.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.