Матрица кватернионов

Матрица кватернионов — это матрица, элементами которой являются кватернионы.

Матричные операции

Кватернионы образуют некоммутативное кольцо и, таким образом, сложение и умножение матриц кватернионов могут быть определены так же, как и для матриц над любым другим кольцом.

Сложение. Сумма двух матриц кватернионов A и B определяется обычным способом как поэлементное сложение:

$(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.\,$

Умножение. Умножение двух кватернионных матриц A и B также следует обычному определению для матричного умножения. Для того чтобы оно было определено число столбцов матрицы A должно равняться числу столбцов матрицы B. Каждый элемент i-й строки и j-го столбца получаемой матрицы равен скалярному произведению i-й строки первой матрицы на j-й столбец второй матрицы:

$(AB)_{ij}=\sum_s A_{is}B_{sj}.\,$

Например, для матриц

$U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12}\\ u_{21} & u_{22}\\ \end{pmatrix}, \quad V = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{12}\\ v_{21} & v_{22}\\ \end{pmatrix},$

the product is

$UV = \begin{pmatrix} u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21} & u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22}\\ u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21} & u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\ \end{pmatrix}.$

Так как кватернионное умножение не коммутативно, необходимо позаботиться о сохранении порядка сомножителей при вычислении произведения матриц.

Единичным элементом, как и ожидается, будет диагональная матрица I = diag(1, 1, … , 1). Умножение следует обычным законам ассоциативности и дистрибутивности. След матрицы определяется как сумма её диагональных элементов, но в общем случае:

$\operatorname{trace}(AB)\ne\operatorname{trace}(BA).$

Левое скалярное произведение определяется как:

$(cA)_{ij}=cA_{ij}.\,$

Снова, так как умножение не коммутативно, то необходимо побеспокоиться о порядке сомножителей.^[1]

Детерминанты

Не существует естественного способа определить детерминант для (квадратной) матрицы кватернионов так, чтобы его значения были кватернионами.^[2] Тем не менее могут быть определены комплекснозначные детерминанты.^[3] Кватернион a + bi + cj + dk можно представить как комплексную матрицу 2×2:

$\begin{bmatrix}~~a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{bmatrix}.$

Так задаётся отображение из Ψ_mn из кватернионных матриц m на n в комплексные матрицы 2m by 2n посредством замены каждого кватерниона на его представление в виде квадратной матрицы 2 на 2. Комплекснозначный детерминант квадратной матрицы кватернионов A тогда можно определить как det(Ψ(A)). Много обычных правил для детерминантов остаётся верными, в частности n на n матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.

Приложения

Матрицы кватернионов используются в квантовой механике^[4] и при рассмотрении задачи многих тел.^[5]

Примечания

1. ↑ Tapp Kristopher Matrix groups for undergraduates. — AMS Bookstore, 2005. — P. 11 ff. — ISBN 0-8218-3785-0
2. ↑ Helmer Aslaksen (1966). «Quaternionic determinants». The Mathematical Intelligencer 18: 57–65. DOI:10.1007/BF03024312.
3. ↑ E. Study (1920). «Zur Theorie der linearen Gleichungen» (German). Acta mathematica 42: 1–61. DOI:10.1007/BF02404401.
4. ↑ N. Rösch (1983). «Time-reversal symmetry, Kramers' degeneracy and the algebraic eigenvalue problem». Chemical Physics 80 (1–2): 1–5. DOI:10.1016/0301-0104(83)85163-5.
5. ↑ Klaus Gürlebeck Quaternionic matrices // Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers. — Wiley, 1997. — P. 32–34. — ISBN 978-0-471-96200-7