Задача Гурса

Задача Гурса

Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.

Содержание

Историческая справка

Задача названа в честь математика Э. Гурса. В его широко известном «Курсе математического анализа» этой задаче посвящен отдельный параграф[1].

Постановка задачи

Пусть в области \Omega задано гиперболическое уравнение u_{xy} = F(x,\,y,\,u,\,u_x,\,u_y) и краевое условие. Задача: найти регулярное в области \Omega и непрерывное в замыкании \bar{\Omega} решение по краевому условию.

В «Математической Энциклопедии»[2] краевое условие формулируется следующим образом:

u(0,\, t) = \varphi(t),\; u(t,\, 1) = \psi(t),\; \varphi(1) = \psi(0), где \varphi и \psi — заданные непрерывно дифференцируемые функции.

В учебнике Тихонова, Самарского[3] оно формулируется немного по-другому:

u(x,\, 0) = \varphi_1(x),\; u(0,\, y) = \varphi_2(y), где \varphi_1 и \varphi_2 удовлетворяют условиям сопряжения и дифференцируемости.

В «Курсе» Гурса говорится о более общем случае.

u(x,\, \pi(x)) = \varphi(x),\; u(\chi(y),\, y) = \psi(y)

Решение

Существование решения

Если функция F непрерывна для всех (x,\, y) \in \bar{\Omega} и для любых u,\; p=u_x,\; q=u_y допускает производные F_u,\; F_p,\; F_q, которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области \bar{\Omega} существует единственное и устойчивое решение.

Метод Римана [* 1]

Рассматривается линейный случай. Исходное уравнение принимает вид Lu \equiv u_{xy} + au_x + bu_y + cu = f.

Вводится функция Римана R(x,\, y;\; \xi,\, \eta), которая однозначно определяется как решение уравнения

R_{xy} - (aR)_x - (bR)_y + cR = 0,

удовлетворяющее условиям на характеристиках

R(\xi,\, y;\; \xi,\, \eta) = \exp \int \limits_\eta^y a(\xi,\, t) dt

R(x,\, \eta;\; \xi, \eta) = \exp \int \limits_\xi^x b(t,\, \eta) dt

где (\xi,\, \eta) \in \Omega — произвольная точка.

Решение задачи Гурса в линейном случае в «Энциклопедии» дается при \varphi = \psi \equiv 0

u(x,\,y) = \int \limits_0^x d\xi \int \limits_1^y R(\xi,\, \eta;\; x,\, y) f(x,y) d\eta

Метод последовательных приближений [* 2]

Рассматривается два случая

  1. F(x,\, y,\, u,\, u_x,\, u_y) = f(x,\, y)

Последовательно интегрируя исходное уравнение получаем аналитическую формулу

u(x,\, y) = \varphi_1(x) + \varphi_2(y) - \varphi_1(0) + \int \limits_0^y \int \limits_0^x f(\xi,\, \eta) d\xi d\eta

Из этой формулы следует существование и единственность решения данной задачи.

  1. F(x,\, y,\, u,\, u_x,\, u_y) = au_x + bu_y + cu + f

Исходное уравнение преобразуется к интегро-дифференциальному уравнению

u(x,\, y) = \int \limits_0^y \int \limits_0^x \left[ au_\xi + bu_\eta + cu\right] d\xi d\eta + \varphi_1(x) + \varphi_2(y) - \varphi_1(0) + \int \limits_0^y \int \limits_0^x f(\xi,\, \eta) d\xi d\eta

Это уравнение решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение u_0(x,\, y) = 0 подставляется в интегро-дифференциальное уравнение. Результат принимается в качестве первого приближения, которое в свою очередь подставляется в интегро-дифференциальное уравнение и т. д. Таким образом получается бесконечная последовательность \left\{ u_n(x,\, y) \right\}. Далее доказывается сходимость данной последовательности и находится ее предел u(x,\, y) = \lim_{n \to \infty} u_n(x,\, y). Этот предел и есть решение задачи.


Примечания

  1. излагается по «Математической Энциклопедии»
  2. излагается по учебнику Тихонова, Самарского

Источники

  1. Э. Гурса Курс математического анализа, том 3, часть 1. — Москва — Ленинград: Государственное Технико-Теоретическое Издательство, 1933.
  2. ГУРСА ЗАДАЧА
  3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — Москва: Главная редакция физико-математичекой литературы издательства «Наука», 1977.

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Задача Гурса" в других словарях:

  • Гурса, Эдуар — Эдуар Жан Батист Гурса Édouard Jean Baptiste Goursat Дата рождения: 21 мая 1858(1858 05 21) Место рождения …   Википедия

  • Гурса Эдуар — Гурса (Goursat) Эдуар (21.5.1858, Ланзак, департамент Ло, ≈ 25.11.1936, Париж), французский математик, член Парижской АН (1919), профессор Парижского университета (1897), президент Французского математического общества. Важнейшие труды по… …   Большая советская энциклопедия

  • ГУРСА ЗАДАЧА — решение гиперболич. уравнения и системы 2 го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух характеристич. кривых, выходящих из одной точки. Для гиперболич. уравнения заданного, напр., в области Г. з. ставится… …   Математическая энциклопедия

  • Гурса — (Goursat)         Эдуар (21.5.1858, Ланзак, департамент Ло, 25.11.1936, Париж), французский математик, член Парижской АН (1919), профессор Парижского университета (1897), президент Французского математического общества. Важнейшие труды по… …   Большая советская энциклопедия

  • КОШИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА — задача отыскания решения дифференциальных уравнений или систем уравнений с частными производными по заданным его значениям на характеристических многообразиях. Для широкого класса уравнений гиперболического и параболического типов в пространстве… …   Математическая энциклопедия

  • СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ — задачи отыскания решений уравнений и систем с частными производными гиперболич. типа, удовлетворяющих на границе области их задания (или ее части) определенным условиям (см. Краевые условия, Начальные условия). Краевая задача для гиперболич.… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф. у. часть предмета математической физики. Многие явления физики и механики (гидро и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И СИСТЕМА — дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида у к poro в любой точке х=( х 0, x1 . . ., х n).области его задания среди действительных переменных y0, y1 . . ., yn можно выделить (в случае надобности после надлежащего… …   Математическая энциклопедия

  • ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1 го и 2 го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»