ГУРСА ЗАДАЧА


ГУРСА ЗАДАЧА

- решение гиперболич. уравнения и системы 2-го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух характеристич. кривых, выходящих из одной точки.

Для гиперболич. уравнения


заданного, напр., в области


Г. з. ставится следующим образом: найти регулярное в области решение уравнения (1) и непрерывное в замыкании по краевому условию


где и - заданные непрерывно дифференцируемые функции. Если функция Fнепрерывна для всех и для любой системы действительных значений переменных и допускает производные и , к-рые при тех же условиях по абсолютной величине меньше нек-рого числа, то в области существует единственное и устойчивое решение задачи (1), (2). При исследовании Г. з. в линейном случае


фундаментальную роль играет функция Римана , к-рая однозначно определяется как решение уравнения


удовлетворяющее на характеристиках и условию


где - произвольная точка из области задания уравнения (3). Если функции и снепрерывны, то функция Рнмана существует и по переменным является решением уравнения .

Решение Г. з. (2) для уравнения (3) дается так наз. формулой Римана. При она имеет вид:


Из формулы Римана следует, что значение решения Г. з. в точке зависит лишь от значения заданных функций в характеристич. четырехугольнике При это значение зависит лишь от значения функции y(x) и j(у)в промежутках и соответственно, а при функция


Метод получения явных формул решения Г. з. с помощью функции Римана известен под названием метода Римана. Этот метод распространен на довольно широкий класс гиперболич. систем 1-го н 2-го порядков. В частности, на систему вида (3), где а, b и с - квадратные симметрия, матрицы порядка п, а fи и - векторы с пкомпонентами.

Непосредственным обобщением Г. з. является задача Дарбу- Пикара, к-рая состоит в определении решения гпперболич. уравнения и системы 2-го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух гладких монотонных кривых g и d, выходящих из одной точки Аи расположенных в характеристич. угле с вершиной в точке А. В частности, g и dмогут частично или полностью совпадать со сторонами этого угла. Эта задача исследована для уравнения вида (1).

Г. з. иногда наз. задачей Дарбу. Под Г. з. для гиперболич. уравнений 2-го порядка с несколькими независимыми переменными часто понимают характеристич. задачу, т. е. задачу отыскания решения по заданным его значениям на характеристич. коноиде (см. Дифференциальные уравнения с частными производными;задача с данными на характеристиках).

Г. з. названа по имени Э. Гурса (Е. Goursat), подробно ее исследовавшего.

Лит.:[1] Гурса 9., Курс математического анализа, пер. с франц., т. 3, ч. 1, М.-Л., 1933; [2] Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959; [3] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [4] Трикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, пер. с итал., М., 1957. А. М. Нахушев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГУРСА ЗАДАЧА" в других словарях:

  • Задача Гурса — Задача Гурса  это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2 го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых. Содержание 1 Историческая справка 2… …   Википедия

  • Гурса Эдуар — Гурса (Goursat) Эдуар (21.5.1858, Ланзак, департамент Ло, ≈ 25.11.1936, Париж), французский математик, член Парижской АН (1919), профессор Парижского университета (1897), президент Французского математического общества. Важнейшие труды по… …   Большая советская энциклопедия

  • Гурса, Эдуар — Эдуар Жан Батист Гурса Édouard Jean Baptiste Goursat Дата рождения: 21 мая 1858(1858 05 21) Место рождения …   Википедия

  • Гурса — (Goursat)         Эдуар (21.5.1858, Ланзак, департамент Ло, 25.11.1936, Париж), французский математик, член Парижской АН (1919), профессор Парижского университета (1897), президент Французского математического общества. Важнейшие труды по… …   Большая советская энциклопедия

  • КОШИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА — задача отыскания решения дифференциальных уравнений или систем уравнений с частными производными по заданным его значениям на характеристических многообразиях. Для широкого класса уравнений гиперболического и параболического типов в пространстве… …   Математическая энциклопедия

  • СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ — задачи отыскания решений уравнений и систем с частными производными гиперболич. типа, удовлетворяющих на границе области их задания (или ее части) определенным условиям (см. Краевые условия, Начальные условия). Краевая задача для гиперболич.… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф. у. часть предмета математической физики. Многие явления физики и механики (гидро и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И СИСТЕМА — дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида у к poro в любой точке х=( х 0, x1 . . ., х n).области его задания среди действительных переменных y0, y1 . . ., yn можно выделить (в случае надобности после надлежащего… …   Математическая энциклопедия

  • ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1 го и 2 го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.