- Зависящий от параметра интеграл
-
Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).
Содержание
Зависящий от параметра собственный интеграл
Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область
, на которой определена функция
двух переменных.
Пусть далее,
.
Функция
и называется интегралом, зависящим от параметра.
Свойства интеграла, зависящего от параметра
Непрерывность
Пусть функция
непрерывна в области
как функция двух переменных. Тогда функция
непрерывна на отрезке
.
ДоказательствоРассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра.
.
По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть
.
Следовательно,
при
, что и означает непрерывность функции
Дифференцирование под знаком интеграла
Пусть теперь на области
непрерывна не только функция
, но и её частная производная
.
Тогда
, или, что то же самое,
ДоказательствоДанные преобразования были выполнены с использованием теоремы о среднем Лагранжа. Рассмотрим теперь выражение
.
Используя вновь теорему Кантора, но для функции
мы получаем, что
при
, что и доказывает данную теорему
Интегрирование под знаком интеграла
Если функция
непрерывна в области
, то
, или, что то же самое:
ДоказательствоРассмотрим две функции:
на
, следовательно
.
Так как
, то
и
На
. Подставляя
получаем условие теоремы.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Добавить иллюстрации.
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Математический анализ
- Интегральное исчисление
Wikimedia Foundation. 2010.