Слоение коразмерности 1

Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.

Определение

На $n$-мерном многообразии $M$ задано слоение коразмерности 1, если $M$ наделено разбиением на линейно связные подмножества $L_\alpha$ со следующим свойством: в окрестности любой точки из $M$ найдется локальная система координат $x^1,\dots,x^n:U\to \R$, в которой связные компоненты множества $L_\alpha\cap U$ состоят из решений $x^n={const}$.

Множества $L_\alpha$ называются слоями слоения, $M$ — его тотальным пространством.

Слои наделяются топологией, базу которой составляют связные компоненты пересечения слоя с открытыми подмножествами тотального многообразразия $M$. По отношению к этой топологии слой является гладким многообразием, и его включение в тотальное многообразие вложением в слабом смысле.

Связанные определения

Определяющая 1-форма слоения

Определяющая 1-форма слоения в открытом множестве $U\subset M$ — это гладкая 1-форма $\omega$, не равная нулю в $U$, ограничение которой на компоненту пересечения любого слоя с $U$ тривиально.

Не всякая ненулевая 1-форма определяет слоение в $U$, требуется, чтобы был выполнен критерий интегрируемости Фробениуса:

Гладкая 1-форма $\omega$, не равная нулю в $U$, определяет слоение тогда и только тогда, когда в $U$ выполняется одно из двух эквивалентных условий

1. существует гладкая 1-форма $\eta$ такая что $d\omega=\eta\wedge\omega$,
2. $\omega\wedge d\omega=0$.

В частности, всякая замкнутая 1-форма определяет слоение.

Если $U=M$, мы имеем глобальную определяющую форму. Слоение коразмерности 1 определяется глобальной 1-формой в том и только в том случае, если оно ориентируемо, и выбор этой 1-формы приводит к выбору определенной ориентации.

Глобальная определяющая форма $\omega\ne 0$ может быть замкнутой, $d\omega=0$, только в том случае, когда многообразие является расслоением над окружностью^[1].

Класс Годбийона — Вея

Для ориентируемых слоений коразмерности 1 определяется класс Годбийона — Вея^[2]:

Ориентируемое слоение $F$ задается глобальной формой $\omega\ne 0$, удовлетворяющей условию интегрируемости; следовательно, существует гладкая 1-форма $\eta$ такая что $d\omega=\eta\wedge\omega$. Классом Годбийона-Вея слоения $F$ называется когомологический класс формы $\eta\wedge d\eta$.

На трехмерном многообразии можно определить число Годбийона — Вея, оно равно значению класса Годбийона — Вея на фундаментальном гомологическом классе.

Геометрический смысл класса Годбийона — Вея остается неясным — известные в настоящее время теоремы показывают, что слоение с нетривиальным классом Годбийона — Вея являются достаточно запутанными.

Примеры

• Гладкое расслоение над одномерным многообразием
• Нарезка тора $T^2$ на окружности или иррациональная обмотка,
• Слоение Риба на сфере $S^3$

Наряду со слоением Риба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на ряде других многообразий, в частности, на всех нечетномерных сферах $S^{2k+1}$ ^[3].

Свойства

• На связном открытом многообразии такое слоение всегда существует^[4].
• На замкнутом многообразии $M$ для существования слоения коразмерности 1 необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика многообразия $\chi(M)$ была равна нулю, $\chi(M)=0$^[5].
  • В частности, это справедливо для всех нечетномерных замкнутых многообразий $M^{2k+1}$. Для поверхности $M^2_g$ эйлерова характеристика $\chi(M^2_g)=2-2g$, поэтому среди всех двумерных поверхностей только на торе $T^2$ существует гладкое слоение.

Литература

• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.

• Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [1]

Примечания

1. ↑ Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over $S^1$ — Topology, v.9, 1970, p.153-154
2. ↑ Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci., 1971, v.273, N2, p.92-95
3. ↑ Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418
4. ↑ Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183-194
5. ↑ Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, p.249-268