- ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ
синусоидальное колебание,- периодическое изменение во времени физич. величины, записываемое аналитически в виде
где
- значение колеблющейся величины в момент времени
- амплитуда,
- циклическая (круговая) частота,
- начальная фаза колебаний. Продолжительность одного полного колебания, равная
наз. периодом Г. к., а величина
, равная числу полных колебаний в единицу времени, наз. частотой Г. к. (
). Период Г. к. не зависит от амплитуды. Скорость, ускорение и все высшие производные гармонически колеблющейся величины изменяются гармонически с той же частотой. На фазовой плоскости
Г. к. изображается эллипсом. В природе из-за диссипации энергии абсолютно точные Г. к. не встречаются. Однако существует много важных процессов, близких к Г. к. Таковы малые колебания механич. систем относительно их устойчивого положения равновесия. Получающиеся при этом частоты (так наз. собственные частоты) колебаний не зависят от начальных условий движения, а определяются лишь самой колеблющейся системой как таковой. Напр., малые колебания (под действием силы тяжести) математич. маятника на нити длины lописываются дифференциальным уравнением
где
- ускорение силы тяжести, а
- угол между вертикалью и нитью маятника. Общее решение этого уравнения имеет вид
где (собственная) частота колебаний
зависит только от gи l, а амплитуда Аи фаза
являются постоянными интегрирования, выбираемыми на основе начальных условий.
Г. к. играют большую роль в изучении общих колебаний, так как сложные периодически и почти периодически меняющиеся величины могут быть с любой степенью точности представлены суммой различных Г. к. Математически это соответствует приближению функций тригонометрич. рядами и Фурье интегралами.
Классический ряд Фурье
комплекснозначной функции
, определенной на
может рассматриваться как разложение
на сумму Г. к. с целочисленными частотами
Коэффициент Фурье
определяет амплитуду
и сдвиг фазы
Г. к. частоты п. Совокупность всех коэффициентов Фурье определяет спектр
и показывает, какие Г. к. действительно входят в
и каковы амплитуды и начальные фазы этих колебаний. Знание спектра заменяет знание функции
.
Функцию
определенную на
уже нельзя построить из Г. к. с целочисленными частотами. Для ее построения нужны колебания всех частот: функция
представляется в виде интеграла Фурье
- спектральная плотность функции
.
Эти представления функций являются основой Фурье методов решения различных задач в теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Лит.:[1] Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959. Л. П. Купцов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.