- Уравнение Фридмана
-
Космология Изучаемые объекты и процессы Наблюдаемые процессы Теоретические изыскания В космологии, Уравнение Фридмана — это уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной вселенной (вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году.
Содержание
Уравнение Фридмана
Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны),
где
— пространственный элемент длины в пространстве постоянной кривизны,
— масштаб (“размер”) вселенной.
Геометрически, пространство постоянной кривизны может быть трёх видов --- сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.
Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства
Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна
где
,
;
– сферические углы;
– масштабированное время,
.
Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны
где штрих означает дифференцирование по
.
Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен
где
плотность энергии,
-- давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна
.
Временная компонента уравнения Эйнштейна,
с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,
Если связь плотности энергии
и давления
(уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной
, используя уравнение сохранения энергии
В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,
Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства
Для открытой вселенной метрика Фридмана равна
где
,
;
– сферические углы;
– масштабированное время,
.
Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой
.
Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть
Открытая (бесконечная) и плоская вселенная
Для плоской вселенной метрика Фридмана равна
где
,
;
– сферические углы;
– масштабированное время,
.
Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе
.
Замечая, что
, где
, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как
Решения уравнения Фридмана
Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев -- вселенной, заполненной пылью; и вселенной, заполненной излучением.
Категория:- Космология
Wikimedia Foundation. 2010.