Теорема Мак-Вильямс

В теории кодирования теоре́ма Мак-Ви́льямс устанавливает связь между весовой функцией линейного кода и весовой функцией двойственного ему кода. Одним из следствий теоремы является получение верхней границы мощности кода. Названа в честь английского математика Флоренс Джесси Мак-Вильямс.

Пусть $C \subset \mathbb{F}_2^n$ двоичный линейный код длины $n$. Весовым распределением кода $C$ называется числовая последовательность $\{ A_w \}_{w = 0}^n,$ где $\displaystyle A_w$ обозначает количество кодовых слов $C$ весом $w$:

$A_w = \#\{c \in C \mid \mathsf{w}(c) = w \}$.

Весовой функцией (или весовым энумератором) называется многочлен двух переменных

$W(C;x,y) = \sum_{w = 0}^n A_w x^w y^{n-w}.$

Элементарные свойства весовой функции

• $\displaystyle W(C;0,1) = A_{0} = 1.$
• $\displaystyle W(C;1,1) = \sum_{w=0}^{n}A_{w}=|C|.$
• $\displaystyle W(C;1,0) = A_{n} = 1,$ когда $(1,\ldots,1)\in C,$ иначе $\displaystyle W(C;1,0) = A_{n} = 0.$
• $\displaystyle W(C;1,-1) = \sum_{w=0}^{n}A_{w}(-1)^{n-w} = A_{n}+(-1)^{1}A_{n-1}+\ldots+(-1)^{n-1}A_{1}+(-1)^{n}A_{0}.$

Формулировка теоремы

Обозначим код, двойственный $C$, через

$C^\perp = \{x \in \mathbb{F}_2^n \,\mid\, \forall c \in C: \langle x,c\rangle = 0 \mbox{ } \},$

где $<,>$ обозначает скалярное произведение векторов в векторном пространстве $\mathbb{F}_2^n$.

Теорема Мак-Вильямс гласит, что

$W(C^\perp;x,y) = \frac{1}{\mid C \mid} W(C;y-x,y+x).$

Литература

• Pless V. Introduction to the theory of error-correcting codes. — Wiley, New York, § 8.2, 1998.
• Lint van J.H. Introduction to coding theory. — Springer-Verlag, Berlin, § 3.5, 1999.
• Roth R.M. Introduction to coding theory. — Cambridge University Press, Cambridge, § 4.4, 2006.

См. также

• Многочлены Кравчука
• Теорема Дельсарта