- Эрмитово-сопряжённая матрица
-
Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транcпони́рованная ма́трица — это матрица
* с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы
транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.
Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств.
Содержание
Определение и обозначения
Если исходная матрица
имеет размер
, то эрмитово-сопряжённая к
матрица
будет иметь размер
а её
-й элемент будет равен:
где
обозначает комплексно-сопряжённое число к
(сопряжённое число к
есть
, где
и
— вещественные числа).
Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как
или
(H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:
— в квантовой механике;
— но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы;
.
Пример
Если
тогда
Связанные определения
Если матрица
состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:
если
Квадратная матрица
называется:
- эрмитовой, если
;
- антиэрмитовой или косоэрмитовой, если
;
- нормальной, если
;
- унитарной, если
, где
— единичная матрица.
Свойства
для любых двух матриц
и
одинаковых размеров.
для любого комплексного скаляра
.
для любых матриц
и
, таких, что определено их произведение
. Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
для любой матрицы
.
- Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
обратима если и только если обратима матрица
. При этом:
для любой матрицы
размера
и любых векторов
и
. Обозначение
обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
- Матрицы
и
являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы
(необязательно квадратной). Если
квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.
См. также
- Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Категория:- Типы матриц
Wikimedia Foundation. 2010.