Самосопряжённая матрица

Самосопряжённая матрица

Эрми́това (или самосопряжённая) ма́трица — квадратная матрица, элементы которой являются комплексными числами, и которая, будучи транспонирована, равна комплексно сопряжённой: \!A^T=A^*. То есть справедливо равенство

a_{ij}=a^*_{ji},

или

\!(A^*)^T=A^+=A,

где \!{}^+ — оператор эрмитового сопряжения.

Например, матрица

\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}

является эрмитовой.

Соответственно, антиэрмитовой матрицей называют квадратную матрицу, элементы которой удовлетворяют равенству \!a_{ij}=-a^*_{ji}, или \!A^+=-A.

Основные свойства

Эрмитова матрица является нормальной.

Диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны.

Вещественная эрмитова матрица (то есть та, все элементы которой — вещественные числа) является симметричной:

Определитель эрмитовой матрицы — вещественное число.

Сумма двух эрмитовых матриц является эрмитовой.

Обратная к эрмитовой матрица также эрмитова, если существует.

Произведение двух эрмитовых матриц является эрмитовым тогда и только тогда, когда они коммутируют друг с другом, то есть если \!AB=BA.

У эрмитовой матрицы все собственные значения вещественны, а собственные векторы могут быть собраны в ортонормированную систему.

Жорданова форма эрмитовой матрицы диагональна.

Дополнительные свойства

  • Сумма любой квадратной матрицы и эрмитово сопряжённой \!(A+A^+) — также эрмитова матрица.
  • Разность любой квадратной матрицы и эрмитово сопряжённой \!(A-A^+) является антиэрмитовой. То есть, если \!C=A-A^+, то \!C^+=-C.
  • Любую квадратную матрицу можно представить как сумму некоторых эрмитовой и антиэрмитовой матриц:
\!A=H+C, где \!H=\frac{1}{2}(A+A^+) и \!C=\frac{1}{2}(A-A^+).

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Самосопряжённая матрица" в других словарях:

  • самосопряжённая матрица — ermitinė matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian matrix; self adjoint matrix vok. Hermite Matrix, f; hermitesche Matrix, f; selbstadjungierte Matrix, f rus. самосопряжённая матрица, f; эрмитова матрица, f pranc. matrice… …   Fizikos terminų žodynas

  • Самосопряжённая матрица — (математическая)         Матрица, совпадающая со своей сопряжённой, т. е. такая, что aik = где число, комплексно сопряжённое с а. Если элементы С. м. действительны, то она симметрическая (см. Симметрическая матрица). С. м. имеет действительные… …   Большая советская энциклопедия

  • эрмитова матрица — ermitinė matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian matrix; self adjoint matrix vok. Hermite Matrix, f; hermitesche Matrix, f; selbstadjungierte Matrix, f rus. самосопряжённая матрица, f; эрмитова матрица, f pranc. matrice… …   Fizikos terminų žodynas

  • МАТРИЦА — прямоугольная таблица состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца) M. могут быть числа, ф ции пли др. величины, над к рыми можно производить алгебраич. операции. M.… …   Физическая энциклопедия

  • Самосопряженная матрица — Эрмитова (или самосопряжённая) матрица  квадратная матрица, элементы которой являются комплексными числами, и которая, будучи транспонирована, равна комплексно сопряжённой: . То есть справедливо равенство или где   оператор эрмитового сопряжения …   Википедия

  • Эрмитова матрица — Эрмитова (или самосопряжённая) матрица  квадратная матрица, элементы которой являются комплексными числами, и которая, будучи транспонирована, равна комплексно сопряжённой: . То есть, для любого столбца и строки справедливо равенство или …   Википедия

  • Собственные векторы —         линейного преобразования, векторы, которые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр. Например, С. в. преобразования, составленного из вращении вокруг некоторой оси и сжатия к перпендикулярной ей… …   Большая советская энциклопедия

  • Собственные значения —         линейного преобразования или оператора А, числа λ, для которых существует ненулевой вектор х такой, что Ах = λх; вектор х называется собственным вектором (См. Собственные векторы). Так, С. з. дифференциального оператора L (y) с заданными… …   Большая советская энциклопедия

  • Hermite-Matrix — ermitinė matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian matrix; self adjoint matrix vok. Hermite Matrix, f; hermitesche Matrix, f; selbstadjungierte Matrix, f rus. самосопряжённая матрица, f; эрмитова матрица, f pranc. matrice… …   Fizikos terminų žodynas

  • Hermitian matrix — ermitinė matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian matrix; self adjoint matrix vok. Hermite Matrix, f; hermitesche Matrix, f; selbstadjungierte Matrix, f rus. самосопряжённая матрица, f; эрмитова матрица, f pranc. matrice… …   Fizikos terminų žodynas


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»