Теорема о сумме углов многоугольника

Свойство многоугольников в евклидовой геометрии:

Сумма углов n-угольника равна 180°(n-2).

Доказательство

Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника

В случае n=3 смотреть Теорема о сумме углов треугольника.

Пусть $A_1A_2...A_n$ — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n-3 диагонали: $A_1A_3, A_1A_4, A_1A_5...A_1A_{n-1}$. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n — 2 треугольника: $\Delta A_1A_2A_3, \Delta A_1A_3A_4, ..., \Delta A_1A_{n-1}A_n$. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Теорема доказана.

Замечание

Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n-2). Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники.

Примечания

Теорема о сумме углов многоугольника для многоугольников на сфере не выполняется (а также на любой другой искажённой плоскости, кроме некоторых случаев). Подробнее смотрите неевклидовы геометрии.

См. также

• Теорема о сумме углов треугольника