Экситон Ванье-Мотта

Экситон Ванье — Мотта — экситон, радиус которого значительно превышает характерный период решётки кристалла (в отличие от экситонов Френкеля).

Экситоны Ванье — Мотта существуют в полупроводниках за счёт высокой диэлектрической проницаемости последних. Высокая диэлектрическая проницаемость приводит к ослаблению электростатического притяжения между электроном и дыркой, что и приводит к большому радиусу экситона.

О происхождении термина

Само понятие экситон было предложено Френкелем в 1931 году. Френкель высказал и обосновал идею существования таких квазичастиц. Представление об экситоне большого радиуса, как об одном из предельных случаев экситона вообще, базируется на теоретической работе Ванье, но окончательно сформулировано в работах Мотта. Поэтому такая квазичастица получила название экситона Ванье — Мотта.

Энергетический спектр экситона

Трёхмерный случай

Для расчёта энергетического спектра экситона Ванье — Мотта воспользуемся простейшей моделью. Будем считать массы электрона и дырки изотропными. Также считаем, что расстояние между электроном и дыркой велико, в этом случае можно пользоваться методом эффективной массы. Тогда уравнение Шрёдингера для такой системы будет иметь вид:

$(\frac{\hat{p}^2_e}{2m_e}+\frac{\hat{p}^2_h}{2m_h}+\frac{e^2}{{\varepsilon}r})\Psi=E\Psi$

Замена переменных, разделяющих поступательное движение центра масс и вращательное движение частиц вокруг центра масс приводит уравнение к виду

$(\frac{\hat{p}^2_{ex}}{2\mu}+\frac{e^2}{{\varepsilon}r})\Phi(r)=(E-\frac{\hbar^2k^2_{ex}}{M})\Phi(r)$

Данное уравнение аналогично уравнению Шрёдингера для атома водорода. Отсюда следует, что дисперсионная зависимость энергии экситона имеет вид

$E_n(k_{ex})=-\frac{{\mu}e^2}{2\hbar^2\varepsilon^2n^2}+\frac{\hbar^2k^2_{ex}}{2M}=E_g-\frac{R_{ex}}{n^2}+\frac{\hbar^2k^2_{ex}}{2M}$, где M = m_e+m_h, 1/μ = 1/m_e+1/m_h — приведённая масса, r = r_e — r_h.

Величина $R_{ex}=me^4/2\hbar^2\varepsilon^2$ по аналогии с постоянной Ридберга для атома водорода называется экситонным Ридбергом.

Таким образом, для покоящегося экситона, мы получаем набор дискретных водородных уровней, отвечающих энергиям возбуждения, меньшим E_g (ширина запрещённой зоны). Для энергий E > E_g + ħ²k²_ex/2M мы получаем решения, принадлежащие непрерывному спектру, что означает независимое движение электрона и дырки.

Двумерный случай

Влияние экранирования

При больших концентрациях носителей заряда в полупроводнике существенным становится экранирование кулоновского взаимодействия и может происходить разрушение экситонов Ванье — Мотта. При наличии свободных носителей потенциал кулоновского взаимодействия имеет вид

$V(r)={e^2 \over \varepsilon r} e^{-r/r_D}$,

где $r_D=\mathcal{E}kT/4\pi e^2 N$ — дебаевский радиус экранирования. Здесь N — концентрация свободных носителей заряда.

Если радиус первого экситонного состояния с n=1 $a_{ex}=\hbar\varepsilon/\mu e^2$ (боровский радиус экситона Ванье — Мотта), то условие исчезновения экситонной серии вследствие экранировки: a_ex > r_D. Для экситона Ванье — Мотта в кристаллах Ge это условие выполняется при концентрации доноров ~10¹⁷ см^-3 и Т=77 К. Таким образом, для наблюдения слабосвязанных экситонов в полупроводниках необходимы низкие температуры и чистые кристаллы.

Проявления экситонного спектра

Спектр поглощения вблизи края запрещённой зоны в прямозонном полупроводнике с участием экситонов (сплошные линии) и без учёта экситонных эффектов (штриховая линия).

Экситоны Ванье — Мотта отчётливо проявляются в спектрах поглощения полупроводников в виде узких линий, сдвинутых на величину E_n ниже края оптического поглощения. Водородоподобный спектр экситонов Ванье — Мотта впервые наблюдался в спектре поглощения Cu₂O. Экситоны проявляются также в спектрах люминесценции, в фотопроводимости, в эффекте Штарка и эффекте Зеемана.

Литература:

Гросс Е. Ф., Экситон и его движение в кристаллической решетке, «Успехи физических наук», 1962, т. 76, в. 3; Нокс Р., Теория экситонов, пер. с англ., М., 1966; Агранович В. М., Теория экситонов, М., 1968; Давыдов А. С., Теория молекулярных экситонов, М., 1968; Экситоны в полупроводниках, [Сб. статей], М., 1971; Осипьян Ю. А., Физика твердого тела выходит на передовые позиции, «Природа», 1975, № 10.