Экситон Ванье

Экситон Ванье — Мотта — экситон, радиус которого значительно превышает характерный период решётки кристалла (в отличие от экситонов Френкеля).

Экситоны Ванье — Мотта существуют в полупроводниках за счёт высокой диэлектрической проницаемости последних. Высокая диэлектрическая проницаемость приводит к ослаблению электростатического притяжения между электроном и дыркой, что и приводит к большому радиусу экситона.

О происхождении термина

Само понятие экситон было предложено Френкелем в 1931 году. Френкель высказал и обосновал идею существования таких квазичастиц. Представление об экситоне большого радиуса, как об одном из предельных случаев экситона вообще, базируется на теоретической работе Ванье, но окончательно сформулировано в работах Мотта. Поэтому такая квазичастица получила название экситона Ванье — Мотта.

Энергетический спектр экситона

Трёхмерный случай

Для расчёта энергетического спектра экситона Ванье — Мотта воспользуемся простейшей моделью. Поскольку расстояние между электроном и дыркой велико, то можно пользоваться методом эффективной массы. Будем считать массы электрона и дырки изотропными, а взаимодействие между ними — определяемым законом Кулона. Тогда уравнение Шрёдингера для такой системы будет иметь вид:

$\left( \frac{\hat{p}^2_e}{2m_e}+\frac{\hat{p}^2_h}{2m_h}-\frac{e^2}{{\varepsilon}r} \right) \Psi = E\Psi$

Замена переменных, разделяющая поступательное движение центра масс и вращательное движение частиц вокруг центра масс, приводит уравнение к виду

$\left( \frac{\hat{p}^2_{ex}}{2\mu}-\frac{e^2}{{\varepsilon}r} \right) \Phi(\mathbf{r}) = \left( E-\frac{\hbar^2k^2_{ex}}{2M} \right) \Phi(\mathbf{r})$

Здесь $M = m_e + m_h$, $\mu = \left( \tfrac{1}{m_e} + \tfrac{1}{m_h} \right)^{-1}$ — приведённая масса, $\mathbf{r} = \mathbf{r}_e - \mathbf{r}_h$.

Данное уравнение аналогично уравнению Шрёдингера для атома водорода. Отсюда следует, что дисперсионная зависимость энергии экситона имеет вид

$E_n(k_{ex})=-\frac{{\mu}e^4}{2\hbar^2\varepsilon^2n^2}+\frac{\hbar^2k^2_{ex}}{2M}=-\frac{R_{ex}}{n^2}+\frac{\hbar^2k^2_{ex}}{2M}$

Величина $R_{ex}= \tfrac{\mu e^4}{2\hbar^2\varepsilon^2}$ по аналогии с Ридбергом для атома водорода называется экситонным Ридбергом.

Двумерный случай

Влияние экранирования

При больших концентрациях носителей заряда в полупроводнике существенным становится экранирование кулоновского взаимодействия и может происходить разрушение экситонов Ванье — Мотта. При наличии свободных носителей потенциал кулоновского взаимодействия имеет вид

$V(r)={e^2 \over \varepsilon r} e^{-r/r_D}$,

где $r_D=\mathcal{E}kT/4\pi e^2 N$ — дебаевский радиус экранирования. Здесь $N$ — концентрация свободных носителей заряда.

Если радиус первого экситонного состояния с $n=1$ $a_{ex}= \tfrac{\hbar^2 \varepsilon}{\mu e^2}$ (боровский радиус экситона Ванье — Мотта), то условие исчезновения экситонной серии вследствие экранировки: $a_{ex} > r_D$. Для экситона Ванье — Мотта в кристаллах $Ge$ это условие выполняется при концентрации доноров ~10¹⁷ см^-3 и Т=77 К. Таким образом, для наблюдения слабосвязанных экситонов в полупроводниках необходимы низкие температуры и чистые кристаллы.

Проявления экситонного спектра

Спектр поглощения вблизи края запрещённой зоны в прямозонном полупроводнике с участием экситонов (сплошные линии) и без учёта экситонных эффектов (штриховая линия).

Экситоны Ванье — Мотта отчётливо проявляются в спектрах поглощения полупроводников в виде узких линий, сдвинутых на величину $E_n$ ниже края оптического поглощения. Водородоподобный спектр экситонов Ванье — Мотта впервые наблюдался в спектре поглощения Cu₂O в 1952 году E. Ф. Гроссом и H. А. Карыевым и независимо — M. Хаяси (M. Hayasi) и К. Кацуки (К. Katsuki), но экситонная интерпретация его в работе японских авторов отсутствовала. Экситоны проявляются также в спектрах люминесценции, в фотопроводимости, в эффекте Штарка и эффекте Зеемана.

Литература

• Гросс Е. Ф. Экситон и его движение в кристаллической решетке, — «Успехи физических наук», 1962, т. 76, в. 3;
• Нокс Р. Теория экситонов, пер. с англ., — М., 1966;
• Агранович В. М. Теория экситонов. — М., 1968;
• Давыдов А. С. Теория молекулярных экситонов. — М., 1968;
• Экситоны в полупроводниках, [Сб. статей], — М., 1971;
• Осипьян Ю. А. Физика твердого тела выходит на передовые позиции, — «Природа», 1975, № 10.