- Теорема Егорова
-
Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.
Содержание
Формулировка
Пусть дано пространство с конечной мерой
так, что
, и определённая на нём последовательность измеримых функций
, сходящаяся почти всюду к
. Тогда
такое, что
, и последовательность
равномерно сходится к
на
.
Замечания
- Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
- Конечность
принципиальна. Пусть, например,
, где
— борелева σ-алгебра на
, а
— мера Лебега. Заметим, что
. Пусть
, где
обозначает индикатор-функцию множества
. Тогда
сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.
См. также
Литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
- Dmitri Egoroff. Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris,(1911) 152:135–157.
Категория:- Функциональный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.