Теорема Лузина

Теоре́ма Лу́зина утверждает, что любая борелевская функция «почти» непрерывна.

Формулировка

Пусть $f:D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ есть борелевская функция, и $m(D) < \infty$, где $m$ есть мера Лебега на $\mathbb{R}$. Тогда $\forall \varepsilon > 0,\; \exists D_{\varepsilon} \subset D$, такое что $m(D \setminus D_{\varepsilon}) < \varepsilon$ и $\left.f\right\vert_{D_{\varepsilon}} \in C(D_{\varepsilon})$, то есть сужение функции $f$ на $D_{\varepsilon}$ непрерывно.

Замечание

Доказательство теоремы Лузина проводится с помощью теоремы Егорова.

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.