Свертка тензора

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности (m,n) в тензор валентности (m − 1,n − 1). В координатах она записывается следующим образом:

${T_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n} \rightarrow {T_{j_1, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, i_n} = {T_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}$

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, т.е. в данном случае по i₀.

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, $A^i_j B^j_k$ есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это

$\sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}$.

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

$A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik}$

Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.

Примеры

• Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
• Свёртка $A^i_{\ j} v^j$ вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
• Свёртка $\ B_{ij} a^i b^j$ векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором $\ g_{ij} a^i b^j$ дает их скалярное произведение.
• В том числе $\ B_{ij} v^i v^j$ - квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
• Свёртка $\ a_j b^j$ ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
• Свёртка $A^j_{\ j}$ тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы $A^i_{\ j}$. Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
• Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): $B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr}$

Свойства

• Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).