- Ротор (вектор)
-
Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также где — векторный дифференциальный оператор набла.
Содержание
Математическое определение
Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:
- .
Нормаль к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.
В трёхмерной декартовой системе координат вычисляется следующим образом:
Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:
где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).
Физическая интерпретация
По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением
где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.
Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.
Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).
Основные свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
- Линейность:
для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b.
- Если — скалярное поле, а F — векторное, тогда:
или
- Дивергенция ротора равна нулю:
- или
При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:
- Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):
Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:
для некоторого скалярного поля
- Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:
Ротор в ортогональных криволинейных координатах
где Hi — коэффициенты Ламе.
Примеры
Простое векторное поле
Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:
- .
Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.
Вычислим ротор:
Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:
Более сложный пример
Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:
- .
Его график:
Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении -z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:
Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и -z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:
Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по -z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.
Три общих примера
Рассмотрим пример ∇ × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что
Если v и ∇ поменять местами:
что является фейнмановской записью с нижним индексом ∇F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.
Другой пример ∇ × [ ∇ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:
что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v → ∇.
Поясняющие примеры
- В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор везде. (см. Вихревое движение).
- В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
- Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
- Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.
Примечания
- ↑ Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.